CF1574F Occurrences

考虑什么样的串是合法的。

直接考虑比较抽象，考虑具象化这个问题。

容易发现一个字符串的限制就相当于如果出现了其中一个字符 \(a_i = c\)，那么 \(s\) 中 \(c\) 前 \(i - 1\) 个字符必然要为：\(a_1 \sim a_{i - 1}\)，\(c\) 后的 \(n - i\) 个字符必然要为 \(a_{i + 1} \sim a_n\)。

这个限制比较严格，可以放宽为：对于每个在串 \(a\) 中出现过的字符 \(a_i = c\)，其前面一个字符必为 \(a_{i - 1}\) 后面一个字符必为 \(a_{i + 1}\)。

此时我们对字符集中的每个字符建点，对于任意的一个串 \(a\) 我们连边 \(\forall i \in [1, n - 1], a_i \to a_{i + 1}\)。

因此 \(s\) 可以看作是在这张图上 不断地 选一个入度为 \(0\) 的点走到一个出度为 \(0\) 的点的过程。

那么显然要分不同的（弱）连通块考虑，容易发现一个（弱联通块）是可选的当且仅当：

• 所有点的入度和出度均不超过 \(2\)。

• 不存在环。

因此满足上述两条限制的连通块只能是一条往一个方向的链。

将所有可行的链找出来，问题可以转化为：

有 \(n\) 种物品，每种物品有长度 \(l_i\)（满足 \(\sum l_i = k\)），且每个物品有无限个，每次选择一个物品放在序列末端，问构成长度为 \(m\) 的序列有多少种？

考虑 \(\rm dp\)，令 \(f_i\) 为构成长度为 \(i\) 的序列的方案数，朴素转移是 \(\mathcal{O}(nm)\) 的。

注意到本质不同的 \(l_i\) 至多只有 \(\sqrt{k}\) 种，于是可以将这 \(\sqrt{k}\) 种一起转移，复杂度 \(\mathcal{O}(m\sqrt{k})\)，已经可以通过本题。

于此同时，我们将本质不同的 \(l\) 看作是一种后有：\(f = f \times l\)，因此可以做半在线卷积 / 求逆即可，复杂度 \(\mathcal{O}(n \log ^ 2n) / \mathcal{O}(n \log n)\)。