SX学SX内容 笔记?

某帖子笔记1

主要还是从三体吧某精品贴里看来的...

集合论

集合就是一堆东西...满足

• 1) 集合中的元素互异(即每种只有一个)
• 2) 集合中的元素无序(不是一个数组,集合中的元素没有显然的排序法则)
• 3) 集合是确定的(包括满足条件的所有东西,比如'一个集合包含有所有可能存在的集合'是不正确的)

组

组是一类数学对象.组是有序的、多元的.

组的表示方法:$(val1[,val_k]*)$

笛卡尔积

定义两个集合的笛卡尔积

\[S\times M=\\{(a,b)\mid a\in S,b\in M\\}\]

映射

映射是一种从一个集合到另一个集合的对应关系,对于默认朴素集合论的情况属于基本概念.

(注意,以下定义自指涉,但是可以用来了解映射的性质.)

映射可以看成由一个集合组成的对象\(f=mapping(\mathtt{MmapstoQ})\),其中\(\mathtt{MmapstoQ}\subseteq M\times Q\)且

\[\forall a\in M,\left( (\exists (b,c)\in \mathtt{MmapstoQ},b=a)\wedge(\neg (\exists (d,e)\in \mathtt{MmapstoQ}\setminus (b,c),d=a))\right)\]

此时记\(f:M\rightarrow Q\),\(c=f(a)\).

(到这里结束)

二元运算

\(\oplus:S\times S\rightarrow S\)将\(\oplus\)称为\(S\)上的一个二元运算,\(a\oplus b=\oplus((a,b))\)

逻辑学

布尔型

布尔型就是真和假.真就是\(\mathtt{true}\),一般可以用\(1\)表示,假就是\(\mathtt{false}\),用\(0\)表示.

我们可以把布尔型归入一个集合即Boolean集合:$\mathtt{Boolean}=\{ \mathtt{true},\mathtt{false} \} $

命题

一个命题可以看作一个映射\(\mathtt{P}:U\rightarrow \mathtt{Boolean}\),其中\(U\)是命题所判断对象的全集.

以下定义一个记号\(U_{\mathtt{P}}\),其定义是\(U_{\mathtt{P}}=\\{x\mid x\in U,\mathtt{P}(x)=\mathtt{true}\\}\)

布尔运算

• a and b => \(a \wedge b\)
  • bool and bool = false
  • true and true = true
  • \(U_{P(x)\wedge Q(x)}=U_{P(x)}\cap U_{Q(x)}\)
• a and b => \(a \vee b\)
  • bool or bool = true
  • false or false = false
  • \(U_{P(x)\vee Q(x)}=U_{P(x)}\cup U_{Q(x)}\)
• a imp b => \(a \rightarrow b\)
  • bool imp bool = true
  • false imp true = false
  • \(P(x)\rightarrow Q(x) \Rightarrow U_{P(x)}\subseteq U_{Q(x)}\)
• a equip b => \(a \leftrightarrow b\)
  • a equip b = [ a == b ]
  • \(P(x)\leftrightarrow Q(x) \Rightarrow U_{P(x)}= U_{Q(x)}\)
• not a => \(\neg a\)
  • not a = [ 1 - a ] : a as Boolean
  • \(U_{\neg P(x)}=U\setminus U_{P(x)}\)

条件

充分条件 \(A\Rightarrow B\),\(A\)是\(B\)的充分条件.
必要条件 \(\neg A\Rightarrow \neg B\),\(A\)是\(B\)的必要条件.
命题表示法 \(\mathtt{P}(x)= x \rightarrow P\) \(x\)为条件 \(P\)为结果
逆命题 \(inv(P(x))=P \rightarrow x\)
否命题 \(neg(P(x))=\neg x \rightarrow \neg P\)
逆否命题 \(invneg(P)=inv(neg(P))\)

\[invneg(P) \Leftrightarrow P\~\~\~恒成立,这条由集合的二分律保证.\]

自然数

皮亚诺公理化体系

自然数是一个戴德金-皮亚诺结构,戴德金-皮亚诺结构是一个满足以下几个性质的三元组\(\mathbb{Z}=(S,f,e)\):

• \(e\in S\)
• \(f:S\rightarrow S\)
• \((\forall b\in S)(\forall c\in S)((f(b)=f(c))\Leftrightarrow (b=c))\)
• \((\forall a\in S)(\neg (f(a)=e))\)

• \((\forall P\subseteq S)\left((e\in P)\wedge((\forall a\in P)(f(a)\in P))\Leftrightarrow (S=P)\right)\)

  序数的冯·诺依曼定义

  \[e={},f(x)=x\cup \\{x\\}\]

• 0 {}
• 1 {{{}}}
• 2 {{{}},{{{{}}}}}
• 3 {{{}},{{{{}}}},{{{{}},{{{{}}}}}}}
• 4 {{{}},{{{{}}}},{{{{}},{{{{}}}}}},{{{{}},{{{{}}}},{{{{}},{{{{}}}}}}}}}
• ...

• 然并卵

加法

定义加法为\(S\)上的二元运算\(+\)满足

• \((\forall a\in S)(a+e=a)\)
• \((\forall a,b\in S)(f(a)+b=f(a+b))\)

可以证明这种运算的唯一性.即假设有两种不同定义的二元运算满足以上条件为\(+\)和\(\oplus\),可以发现\((\forall a,b\in S)(a+b=a\oplus b)\).