BZOJ 3456 城市规划 (组合计数、DP、FFT)

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456

著名的多项式练习题，做法也很多，终于切掉了纪念

首先求一波递推式: 令\(F(n)\)为\(n\)个点的有标号无向连通图的个数，则考虑补集转化为有标号无向不连通图的个数，然后枚举\(1\)号点所在联通块的大小: $$F(n)=2^{n\choose 2}-\sum^{n-1}_{i=1} {n-1\choose i-1} F(i)2^{n-i\choose 2}$$

这样可以做到\(O(n^2)\), 后面就该大佬们各显神通了，我在这里整理一下四种做法:

做法一

直接使用分治NTT优化，时间复杂度\(O(n\log^2n)\)。但我不会分治NTT，所以不具体说了。

做法二

\[F(n)=2^{n\choose 2}-\sum^{n-1}_{i=1}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}F(i)2^{n-i\choose 2}\\
\frac{F(n)}{(n-1)!}=\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}-\sum^{n-1}_{i=1} \frac{F(i)}{(i-1)!}\frac{2^{n-i\choose 2}}{(n-i)!}$$移项可得$$\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}=\sum^{n}_{i=1} \frac{F(i)}{(i-1)!}\frac{2^{n-i\choose 2}}{(n-i)!}\]

令\(A(x)=\sum_{n>0}\frac{F(n)}{(n-1)!}, G(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n\choose 2}}{n!}, H(x)=\sum_{n>0}\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}\), 则有$$F(x)G(x)=H(x)\ F(x)=H(x)G(x)^{-1}$$

多项式求逆即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\).

这应该是代码复杂度和运行效率上最好的一种做法，但是做法三和做法四也有一定的启发意义。

做法三

设\(G(n)=2^{n\choose 2}\)表示\(n\)个点有标号无向图的个数。设\(F(x),G(x)\)分别为\(F(n),G(n)\)的指数生成函数(EGF).

由于一个有标号无向图由若干个彼此之间无顺序的联通块组成，因此其指数生成函数\(G(x)=\sum_{n\ge 1}\frac{F(x)^n}{n!}\).

即\(G(x)=e^{F(x)}\), \(F(x)=\ln G(x)\). 多项式\(\ln\)即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\).

做法四

(这个做法是我自己想的，有错敬请指出)(这种做法其实是用另一种方式推导做法三)

感谢_rqy大爷博客里的生成函数简介。

仿照求Bell数的EGF方法，进行以下推导: $$\frac{F(n)}{n!}=\frac{G(n)}{n!}-\sum^{n-1}{i=1} \frac{F(i)}{n(i-1)!}\frac{G(n-i)}{(n-i)!}\ \frac{G(n)}{n!}=\frac{F(n)}{n!}+\frac{1}{n}\sum^{n-1}{i=1}\frac{iF(i)}{i!}\frac{G(n-i)}{(n-i)!}$$

这里我们发现\(\frac{iF(i)}{i!}\)就是\([x^{i-1}]F'(x)\), 于是上式可以改写为$$[x^n]G(x)=[xn]F(x)+\frac{1}{n}\sum^{{n-1}_{i=1}[x}{i-1}]F'(x)\times [x^{n-i}]G(x)\ =\frac{1}{n}(n[x^n]F(x)+\sum{n-1}_{i=1}[x^{i-1}]F'(x)\times [x^{n-i}]G(x))\ =\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}[x{i-1}]F'(x)\times [x^{n-i}]G(x)\ G(x)=\int^x_0 F'(x)G(x)\text{d}x\ \frac{G'(x)}{G(x)}=F'(x)\ \ln G(x)=F(x)$$.

一定要注意求和边界! 我推式子的时候没注意求和上界是\(n\)还是\((n-1)\)的问题结果一直推出来\(G(x)=F(x)+\int^x_0 F'(x)G(x)\text{d}x\)查了一小时……

代码

做法二

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#define llong long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0; bool f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
	if(f) return x;
	return -x;
}

const int N = 1<<19;
const int LGN = 19;
const int P = 1004535809;
const int G = 3;
llong fact[N+3],finv[N+3];

llong quickpow(llong x,llong y)
{
	llong cur = x,ret = 1ll;
	for(int i=0; y; i++)
	{
		if(y&(1ll<<i)) {y-=(1ll<<i); ret = ret*cur%P;}
		cur = cur*cur%P;
	}
	return ret;
}
llong mulinv(llong x) {quickpow(x,P-2);}

namespace Polynomial
{
	llong tmp1[N+3],tmp2[N+3],tmp3[N+3],tmp4[N+3],tmp5[N+3],tmp6[N+3];
	int fftid[N+3];
	int getdgr(int n)
	{
		int ret = 1; while(ret<=n) ret<<=1;
		return ret;
	}
	void init_fftid(int dgr)
	{
		int len = 0; for(int i=1; i<=LGN; i++) {if((1<<i)==dgr) {len = i; break;}}
		for(int i=1; i<dgr; i++) fftid[i] = (fftid[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	}
	void ntt(int dgr,int coe,llong poly[],llong ret[])
	{
		init_fftid(dgr);
		if(poly==ret) {for(int i=0; i<dgr; i++) {if(i<fftid[i]) swap(ret[i],ret[fftid[i]]);}}
		else {for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = poly[fftid[i]];}
		for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
		{
			llong tmp = quickpow(G,(P-1)/(i<<1));
			if(coe==-1) tmp = mulinv(tmp);
			for(int j=0; j<dgr; j+=(i<<1))
			{
				llong expn = 1ll;
				for(int k=0; k<i; k++)
				{
					llong x = ret[j+k],y = ret[i+j+k]*expn%P;
					ret[j+k] = (x+y)%P;
					ret[j+i+k] = (x-y+P)%P;
					expn = expn*tmp%P;
				}
			}
		}
		if(coe==-1)
		{
			llong tmp = mulinv(dgr);
			for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = ret[i]*tmp%P;
		}
	}
	void polymul(int dgr,llong poly1[],llong poly2[],llong ret[])
	{
		ntt(dgr<<1,1,poly1,tmp1); ntt(dgr<<1,1,poly2,tmp2);
		for(int i=0; i<(dgr<<1); i++) tmp2[i] = tmp1[i]*tmp2[i]%P;
		ntt(dgr<<1,-1,tmp2,ret);
	}
	void polyinv(int dgr,llong poly[],llong ret[])
	{
		for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = tmp1[i] = 0ll;
		ret[0] = mulinv(poly[0]); tmp1[0] = poly[0];
		for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
		{
			for(int j=i; j<(i<<1); j++) tmp1[j] = poly[j];
			ntt((i<<2),1,ret,tmp2); ntt((i<<2),1,tmp1,tmp3);
			for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp2[j] = tmp2[j]*tmp2[j]%P*tmp3[j]%P;
			ntt((i<<2),-1,tmp2,tmp3);
			for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = (2ll*ret[j]-tmp3[j]+P)%P;
		}
	}
}
llong f[N+3],g[N+3],h[N+3],ginv[N+3];
int n;

int main()
{
	fact[0] = 1ll; for(int i=1; i<=N; i++) fact[i] = fact[i-1]*i%P;
	finv[N] = quickpow(fact[N],P-2); for(int i=N-1; i>=0; i--) finv[i] = finv[i+1]*(i+1)%P;
	scanf("%d",&n); int dgr = Polynomial::getdgr(n);
	for(int i=0; i<=n; i++) {g[i] = quickpow(2ll,i*(i-1ll)/2ll)*finv[i]%P;}
	for(int i=1; i<=n; i++) {h[i] = quickpow(2ll,i*(i-1ll)/2ll)*finv[i-1]%P;}
//	printf("g: "); for(int i=0; i<dgr; i++) printf("%lld ",g[i]); puts("");
//	printf("h: "); for(int i=0; i<dgr; i++) printf("%lld ",h[i]); puts("");
	Polynomial::polyinv(dgr,g,ginv);
//	printf("ginv: "); for(int i=0; i<dgr; i++) printf("%lld ",ginv[i]); puts("");
	Polynomial::polymul(dgr,ginv,h,f);
	printf("%lld\n",f[n]*fact[n-1]%P);
	return 0;
}

生成函数这东西真的是有趣！！！