lesson2-完全图、补图和顶点度

(一)、完全图、偶图与补图

1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图 (complete graph).在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为

2、所谓具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中.
完全偶图是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为  Km, n

偶图是一种常见数学模型

例1 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号是xi（i=1,2,3,4,5,6)，六门课程代号是yi （i=1,2,3,4,5,6)。已知，教师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；
教师x5能够胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和课程之间的状态图。

3、对于一个简单图G =（V, E），令集合

则称图H =（V，E1\E）为G的补图，记为

例如，下面两个图互为补图。

补图是相对于完全图定义的。补图是图论中经常涉及的概念，在图论研究中有重要的作用
如果图G与其补图同构，则称G为自补图。
定理：若n阶图G是自补图(       ),则有：

证明：n阶图G是自补图，则有：

所以：

由于n是正整数，所以：

自补图是很有意义的图类。它在对角型拉姆齐数方面的研究、关于图的香农容量的研究、强完美图方面的研究等都有重要作用。
例2 在10个顶点以下的简单图中，哪些阶数的图可能为自补图？画出8阶的4个自补图(共10个)。

(二)、顶点的度与图的度序列
1、顶点的度及其性质
G的顶点v的度d (v)是指G中与v关联的边的数目，每个环计算两次。 分别用δ(G)和Δ(G)表示图G的最小与最大度。
奇数度的点称为奇度点，偶数度的顶点称偶度点。
设G = (V, E)为简单图，如果对所有  ，有d (v) = k，称图G为k-正则图
定理：  图G= (V, E)中所有顶点的度的和等于边数m的2倍，即：

证明：由顶点度的定义知：图中每条边给图的总度数贡献2度，所以，总度数等于边数2倍。
注：该定理称为图论第一定理，是由欧拉提出的。欧拉一生发表论文886篇，著作90部。该定理还有一个名字：“握手定理”。
推论1  在任何图中，奇点个数为偶数。

证明：设V1,V2分别是G中奇点集和偶点集.则由
握手定理有：是偶数，由于   是偶数， 所以          偶数，于是 是偶数。

推论2  正则图的阶数和度数不同时为奇数 。

证明 ： 设G是k-正则图，若k为奇数，则由推论1知正则图G的点数必为偶数

例4  Δ与δ是简单图G的最大度与最小度，求证：

证明：由握手定理有：所以有：

2、图的度序列及其性质
一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn)称为G的度序列 。任意一个图G对应唯一一个度序列，图的度序列是刻画图的特征的重要“拓扑不变量”。

图G 的“拓扑不变量”是指与图G有关的一个数或数组(向量)。它对于与图G同构的所有图来说，不会发生改变。

定理：非负整数组(d1,d2,…., d n)是图的度序列的充分必要条件是： 为偶数。

证明：必要性由握手定理立即得到。如果      为偶数，则数组中为奇数的数字个数必为偶数。按照如下方式作图G:若di为偶数，则在与之对应的点作di/2个环；对于剩下的偶数个奇数，

两两配对后分别在每配对点间先连一条边，然后在每个顶点画dj-1/2个环。该图的度序列就是已知数组。
一个非负数组如果是某简单图的度序列，我们称它为可图序列(graphic sequence)，简称图序列。
关于图序列，主要研究3个问题：
(1) 存在问题：什么样的整数组是图序列？
(2) 计数问题：一个图序列对应多少不同构的图？
(3) 构造问题：如何画出图序列对应的所有不同构图？
研究现状: (1)彻底解决了，(2)解决得不完整，(3)没有解决。
定理(Havel 1955, Hakimi 1962)：非负整数组

 是图序列的充分必要条件是：

是图序列。

例5       是否为图序列？如果是，作出对应的一个简单图。

3、图的频序列及其性质
定理：  一个简单图G的n个点的度不能互不相同

证明：  因为图G为简单图，所以：△(G)≤n-1。

情形1：若G没有孤立点，则

由鸽笼原理：必有两顶点度数相同；
情形2：若G只有一个孤立点，设G1表示G去掉孤立点后的部分，则：

由鸽笼原理：在G1里必有两顶点度数相同；
情形3：若G只有两个以上的孤立点，则定理显然成立。

定义：  设n阶图G的各点的度取s个不同的非负整数d1,d2,…, ds。又设度为di的点有bi个 (i = 1,2,…,s)，则

故非整数组(b1,b2,…, bs)是n的一个划分，称为G的频序列。
定理：  一个n阶图G和它的补图有相同的频序列。