题解-bzoj1283序列 & bzoj4842 [Neerc2016]Delight for a Cat

因为这两题有递进关系，所以放一起写

Problem

bzoj1283 序列

题意概要：一个长度为 \(n\) 的序列\(\{c_i\}\)，求一个子集，使得原序列中任意长度为 \(m\) 的子串中被选出的元素不超过\(K\)个，并且选出的元素之和最大。

bzoj 4842 Please contact lydsy2012@163.com! （可以下数据自测 然而还需要spj，upd：loj6079好像是一样的）

题意概要：构造一个长度为\(n\)的\(12\)序列\(\{a_i\}\)，\(a_i=1\)或\(2\)的贡献分别为\(s_i,t_i\)，对于任意长度为\(k\)的子串，至少要有\(t_1\)个\(1\)，至少要有\(t_2\)个\(2\)，问这\(n\)个小时的最大收益

Solution-bzoj1283

这题和网络流24题-最长\(k\)可重区间集问题很像，只不过这里运用了点线互换的套路。

限制对于每个区间选出的元素不能超过\(k\)个，等价于把元素视作一条长度为\(k\)的线段，每个点不能被覆盖超过\(k\)次

每个点被覆盖不超过\(k\)次就可以用网络流解决了，利用流量限制\(k\)

• 建立一个主轴（连边\(i\rightarrow i+1\)，流量\(\inf\)，费用\(0\)）用以传递流量
• 对每个点建出线段（连边\(i\rightarrow i+k\)，流量\(1\)，费用\(c_i\)）

这样如果想取得一个权值\(c_i\)，必须有\(1\)的流量从\(i\)开始走费用为\(c_i\)的那条边，而只要设置源点流量为\(k\)，则对于每个截面的流量不会超过\(k\)，化为实际意义即每个点被覆盖不超过\(k\)次，跑最大费用最大流即可

Solution-bzoj4842

简化题目

现将这题的 “二者选其一” 转化为上一题的 “选与不选”：先假定序列全部选\(2\)，再考虑对于每个位置换不换成\(1\)（\(ans=\sum e_i\)，令\(n\)个点权值为\(a_i=s_i-e_i\)，考虑每个点选与不选）

上一题是每个点被覆盖不超过\(k\)次

考虑这题变成了交换，设交换\(x\)次，则选择\(x\)个\(1\)，选择\(k-x\)个\(2\)，由于\(t_1\leq x\\t_2\leq k-x\)，即\(t_1\leq x\leq k-t_2\)

即每个点被覆盖不超过\(k-t2\)次，不少于\(t_1\)次，不多于\(k-t_2\)次，上下界网络流……

然而凑巧的是，前天我刚想到一个奇妙的下界网络流方法 实际很简单，比如要一个一条边的流量大于等于某个数\(t\)，则只要往这条边的入度注满\(s\)的流，然后在入度处拉出一条流量上界为\(s-t\)的边，则原边流量刚好大于等于\(t\)（即利用限制分流保证原边流量下界）

所以这题就可以做了，类似于上一题，这里不能被覆盖超过\(k-t_2\)次，即源点流量为\(k-t_2\)，不少于\(t_1\)次，利用上面这个方法就是将主轴的流量上界设定为\(k-t_2-t_1\)，这样对于每个点都会至少有\((k-t_2)-(k-t_2-t_1)=t_1\)次覆盖了

但是考虑若像上一题那样源点只连第一个位置，会使得前面\(k\)个点之间的主轴承受不住，所以需要源点需要往前\(k\)个点都连一条无限流量无费用的边

细化做法：

• 虚源点往源点连边（流量\(k-t_2\)，费用\(0\)）
• 源点往\(i,i\in[1,k]\)连边（流量\(\inf\)，费用\(0\)）
• \(i\)往\(i+1\)连边（流量\(k-t_1-t_2\)，费用\(0\)）
• \(i\)往\(i+k\)连边，若\(i+k>n\)则连向\(t(t=n+1)\)（流量\(1\)，费用\(s_i-e_i\)）

跑最大费用最大流即可

哦，对了，听说这两题还可以线性规划玩

Code

bzoj1283

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(int&x){
	char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();return x;
}

const int N=4050,inf = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{int v,w,c,nxt;}a[N];
int head[N],n,m,s,t,k,_;

inline void add(int u,int v,int w,int c){
	a[_].v=v,a[_].w=w,a[_].c=c,a[_].nxt=head[u],head[u]=_++;
	a[_].v=u,a[_].w=0,a[_].c=-c,a[_].nxt=head[v],head[v]=_++;
}

namespace max_cost{
	int q[N*10],he,ta;
	int dis[N],inq[N],vis[N],dfc=0;
	bool bfs(){
		for(int i=0;i<t;++i)dis[i]=-inf,inq[i]=0;
		dis[q[he=ta=1]=t]=0,inq[t]=1;
		int x;while(he<=ta){
			inq[x=q[he++]]=0;
			for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)
				if(a[i^1].w>0&&dis[a[i].v]<dis[x]-a[i].c){
					dis[a[i].v]=dis[x]-a[i].c;
					if(!inq[a[i].v])q[++ta]=a[i].v,inq[a[i].v]=1;
				}
		}return dis[s]!=-inf;
	}
	int dfs(int x,int flw){
		if(x==t||!flw)return flw;
		int res=0,tmp;vis[x]=dfc;
		for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)
			if(vis[a[i].v]!=dfc && a[i].w>0 && dis[a[i].v]==dis[x]-a[i].c)
			if(tmp=dfs(a[i].v,min(flw-res,a[i].w))){
				a[i].w-=tmp,a[i^1].w+=tmp,res+=tmp;
				if(res==flw)return res;
			}
		return res;
	}
	void main(){
		int flw,ans=0;
		while(bfs())
			for(vis[t]=dfc;vis[t]==dfc;){
				++dfc;flw=dfs(s,inf);
				ans+=flw*dis[s];
			}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

int main(){
	read(n),read(m),read(k);s=0,t=n+1;
	for(int i=0;i<=t;++i)head[i]=-1;
	add(s,1,k,0);
	for(int i=1,x;i<=n;++i){
		add(i,i+1,inf,0);
		add(i,min(i+m,t),1,read(x));
	}
	max_cost::main();
	return 0;
}

bzoj4842

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
	char c11=getchar(),ob=0;x=0;
	while(c11^'-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-')ob=1,c11=getchar();
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}

const int N=1010,M=8010,flow_inf = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{int v,w,c,nxt;}a[M];
int head[N],sv[N],ev[N],id[M],state[N];
int n,k,t1,t2;
int s,t,ss,_;
ll ans;

inline void add(int u,int v,int w,int c){
	a[_].v=v,a[_].w=w,a[_].c=+c,a[_].nxt=head[u],head[u]=_++;
	a[_].v=u,a[_].w=0,a[_].c=-c,a[_].nxt=head[v],head[v]=_++;
}

namespace max_cost{
	const ll dis_inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	int q[N*170],inq[N],vis[N];
	int he,ta,dfc=0;
	ll dis[N];
	bool bfs(){
		for(int i=t;i;--i)inq[i]=0,dis[i]=-dis_inf;
		dis[q[he=ta=1]=t]=0,inq[t]=true;
		int x;
		while(he<=ta){
			inq[x=q[he++]]=false;
			for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)
				if(a[i^1].w>0 && dis[a[i].v]<dis[x]-a[i].c){
					dis[a[i].v]=dis[x]-a[i].c;
					if(!inq[a[i].v])inq[q[++ta]=a[i].v]=true;
				}
		}return dis[s]!=-dis_inf;
	}
	int dfs(int x,int flw){
		if(x==t||!flw)return flw;
		int res(0),tmp;vis[x]=dfc;
		for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)
			if(vis[a[i].v]!=dfc && a[i].w>0 && dis[a[i].v]==dis[x]-a[i].c)
			if(tmp=dfs(a[i].v,min(flw-res,a[i].w))){
				a[i].w-=tmp,a[i^1].w+=tmp,res+=tmp;
				if(res==flw)return res;
			}
		return res;
	}
	void main(){
		int flw;
		while(bfs())
			for(vis[t]=dfc;vis[t]==dfc;){
				++dfc;flw=dfs(s,flow_inf);
				ans+=flw*dis[s];
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&t1,&t2);
	s=n+1,ss=n+2,t=n+3;
	for(int i=t;i;--i)head[i]=-1;
	add(s,ss,k-t2,0);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",sv+i);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",ev+i),ans+=ev[i];
	for(int i=1;i<=k;++i)add(ss,i,flow_inf,0);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		add(i,i+1>n?t:i+1,k-t1-t2,0);
		add(i,i+k>n?t:i+k,1,sv[i]-ev[i]);
		id[_-1]=i;
	}

	max_cost::main();

	for(int i=0;i<_;++i)
		if(id[i])
			state[id[i]]=(a[i].w>0);
	for(int i=1;i<=n;++i)putchar(state[i]?'S':'E');
	putchar('\n');return 0;
}