关于递推算法求解约瑟夫环问题P(n,m,k,s)

一. 问题描述

　　已知n个人，分别以编号1，2，3，...，n表示，围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数1，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列，求最后一个出列人的编号，可记为P(n,m,k)，或记为P(n,m,k,s = 1)，其中s为起始编号。

二. 递归求解

　　n（假设n值很大，而k、m值都很小）个人围成一圈，从k开始以m为步长报数，第k+m-1个人出列；于是转化为n-1个人围成一圈，从(k+m-1)+1开始以m为步长报数，第(k+m)+m-1个人出列；再转化为求n-2个人围成一圈，从(k+2m-1)+1开始以m为步长报数，第(k+2m)+m-1个人出列；依次类推，直至只剩1个人围成一圈，该人出列即为问题的解。有如下推导过程：

1. 因为第一个出圈者是k+m-1，则下一个起始报数者k+m，原圈可增加一套新编号a，用1表示k+m，2表示k+m+1，依此类推，n则表示k+m-1，于是原圈又可对应至新环：1，2，......，n-1，n ------ ①。
2. 因为k+m-1将出圈，即①中n将出圈，余下n-1人，于是有：1，2，......，n-1 ------ ②，对②求P(n-1,m,1)，则P(n > 1,m,k) = (P(n-1,m,1) + (k + m - 2)) % n + 1 ------ ⑴(取模前先减1，取模后再加1，以保证落在[1,n]这个区间之上)。由于形如(k + num) % n = (k % n + num) % n (num >= 0)是成立的，所以当k>n或m>n时，⑴也是成立的。
3. 当k=1，有P(n > 1,m,1) = (P(n-1,m,1) + m - 1) % n + 1 ------ ⑵，下文的Josephus_by_k_eq_1(n, m, p = 1, i = 1)实现了⑵。
4. 一般地，P(1,m,k) = P(1,1,1) = 1 ------ ⑶。
5. 由⑵可知P(n-1,m,1) = (P(n-2,m,1) + m - 1) % (n-1) + 1 ------ ⑷，于是P(n,m,k) 的求解可分作两步完成，下文的Josephus_by_k(n, m, k)实现了这一思想：

   步骤一：通过等式⑶、⑷递推求解P(n-1,m,1)
   
   步骤二：通过等式⑴求解P(n,m,k)

6. 当约瑟夫环不是用1~n进行编号时，而是用1 + (s-1)~n + (s-1)进行任意编号，最后出圈者P(n,m,k,s) = P(n,m,k-(s-1)) + (s-1) ------ ⑸，下文的Josephus_by_k_and_s(n, m, k, s)实现了 ⑸。

　

　　需特别指出的是，上述推导过程并没有直接得到P(n,m,k > 1)的某种递推关系，只是解决了P(n,m,k = 1)这个特列的递推关系。对于⑵有人给出如下的类似描述，实在费解。因为其描述中k最终实际是一个无关的参数，但P(n,m,k)却与k有极大的关联。事实上，P(3,2,3) = 2，而P(3,2,1) = 3 。

P(n, m, k) = 1  (i = 1)

P(n, m, k) = (P(i - 1, m, k ) + m - 1) % n + 1  (i > 1)

其下列算法实现虽然在注释中给k定义为起始报数位置，实际上不是P(n, m, k)中k的含义，而是代表P(n-1, m, 1)
long Josephus(long n,long m,long k){ //参数分别为：总人数，出圈步长，起始报数位置,
    for (long i = 1; i <= n; i++)
        k = (k + m - 1) % i + 1;
    return k; //返回最后一人的位置
}

三. P(n,m,1) = (P(n-1,m,1) + m - 1) % n + 1的Javascript算法实现：Josephus_by_k_eq_1(n, m, p = 1, i = 1)

/**
* 约瑟夫环(编号1~n)问题求最后出圈者P(n,m,k = 1)
*
* @para int n 总人数
* @para int m 报数步长
* @para int p P(n-1,m,1)
* @para int i 迭代控制变量
* @return int 最后出圈者
*/

function Josephus_by_k_eq_1(n, m, p = 1, i = 1) {
    if (i > n) {
        return p; //返回最后出圈者
    } else {
        p = (p + m - 1) % i + 1;
        i = i + 1;

        return Josephus_by_k_eq_1(n, m, p, i);
    }
}

四. P(n,m,k) = (P(n-1,m,1) + (k + m - 2)) % n + 1的Javascript算法实现：Josephus_by_k(n, m, k)

/**
* 约瑟夫环(编号1~n)问题求最后出圈者P(n,m,k)
*
* @para int n 总人数
* @para int m 报数步长
* @para int k 起始报数者
* @return int 最后出圈者
*/

function Josephus_by_k(n, m, k) {
    return (Josephus_by_k_eq_1(n - 1, m) + (k + m - 2)) % n + 1;
}

五.P(n,m,k,s) = P(n,m,k-(s-1)) + (s-1)的Javascript算法实现：Josephus_by_k_and_s(n, m, k, s)

/**
* 约瑟夫环(编号1+(s-1)~n+(s-1))问题求最后出圈者P(n,m,k,s)
*
* @para int n 总人数
* @para int m 报数步长
* @para int k 起始报数者
* @para int s 起始编号
* @return int 最后出圈者
*/

function Josephus_by_k_and_s(n, m, k, s) {
    return Josephus_by_k(n, m, k - (s - 1)) + (s - 1);
}