这三题均可以用树状数组、分块或线段树来做

#130. 树状数组 1 ：单点修改，区间查询

题目链接：https://loj.ac/problem/130

题目描述

这是一道模板题。

给定数列 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

  • 1 i x：给定 i,xi,x，将 a[i]a[i] 加上 xx；
  • 2 l r：给定 l,rl,r，求 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值（换言之，求 a[l]+a[l+1]+\dots+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值）

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1\le n,q\le 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

  • 1 i x：给定 i,xi,x，将 a[i]a[i] 加上 xx；
  • 2 l r：给定 l,rl,r，求 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值。

保证 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

输出格式

对于每个 2 l r 操作输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

样例输入

3 2

1 2 3

1 2 0

2 1 3

样例输出

6

数据范围与提示

对于所有数据，1\le n,q\le 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106, 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

树状数组解法：

思路：板子

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=1e6;

int n,m;

ll sum[maxn];

int lowbit(int x){return x&(-x);}

void add(int x,ll val){

    while(x<=maxn){

        sum[x]+=val;

        x+=lowbit(x);

    }

}

ll getsum(int x){

    ll res=;

    while(x){

        res+=sum[x];

        x-=lowbit(x);

    }

    return res;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&m);

    ll c;

    for(int i=;i<=n;i++){

        scanf("%lld",&c);

        add(i,c);

    }

    while(m--){

        int id,x,y;

        scanf("%d%d%d",&id,&x,&y);

        if(id==)add(x,y);

        else

            cout<<getsum(y)-getsum(x-)<<endl;

    }

    return ;

}

分块解法：

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

ll a[maxn],sum[maxn];

int n,q,num,block,l[maxn],r[maxn],belong[maxn];

void build(){

    block=sqrt(n);

    num=n/block;

    if(n%block)num++;

    for(int i=;i<=num;i++)

        l[i]=(i-)*block+,r[i]=i*block;

    r[num]=n;

    for(int i=;i<=n;i++)

        belong[i]=(i-)/block+;

    for(int i=;i<=num;i++)

        for(int j=l[i];j<=r[i];j++)

            sum[i]+=a[j];

}

ll query(int x,int y){

    ll res=;

    if(belong[x]==belong[y]){

        for(int i=x;i<=y;i++)

            res+=a[i];

        return res;

    }

    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++) res+=a[i];

    for(int i=belong[x]+;i<belong[y];i++)res+=sum[i];

    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)res+=a[i];

    return res;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

        scanf("%lld",&a[i]);

    build();

    while(q--){

        int id,x,y;

        scanf("%d%d%d",&id,&x,&y);

        if(id==){

            a[x]+=y;

            sum[belong[x]]+=y;

        }

        else

            printf("%lld\n",query(x,y));

    }

    return ;

}

线段树解法：

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

int n,q;

ll tree[maxn*],a[maxn];

void pushup(int rt){

    tree[rt]=tree[rt<<]+tree[rt<<|];

}

void build(int l,int r,int rt){

    if(l==r){

        tree[rt]=a[l];

        return;

    }

    int mid=(l+r)>>;

    build(l,mid,rt<<);

    build(mid+,r,rt<<|);

    pushup(rt);

}

void update(int pos,ll val,int l,int r,int rt){

    if(l==r){

        tree[rt]+=val;

        return;

    }

    int mid=(l+r)>>;

    if(pos<=mid) update(pos,val,l,mid,rt<<);

    else update(pos,val,mid+,r,rt<<|);

    pushup(rt);

}

ll ask(int L,int R,int l,int r,int rt){

    ll res=;

    if(l>=L&&r<=R) return tree[rt];

    pushup(rt);

    int mid=(l+r)>>;

    if(L<=mid)res+=ask(L,R,l,mid,rt<<);

    if(R>mid)res+=ask(L,R,mid+,r,rt<<|);

    return res;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

        scanf("%lld",&a[i]);

    build(,n,);

    while(q--){

        int id,x,y;

        scanf("%d%d%d",&id,&x,&y);

        if(id==) update(x,y,,n,);

        else printf("%lld\n",ask(x,y,,n,));

    }

    return ;

}

#131. 树状数组 2 ：区间修改，单点查询

题目链接：https://loj.ac/problem/131

题目描述

这是一道模板题。

给定数列 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

  • 1 l r x：给定 l,r,xl,r,x，对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx（换言之，将 a[l], a[l+1], \dots, a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx）；
  • 2 i：给定 ii，求 a[i]a[i] 的值。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1\le n,q\le 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

  • 1 l r x：对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx；
  • 2 i：给定 ii，求 a[i]a[i] 的值。

保证 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

输出格式

对于每个 2 i 操作，输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

样例输入

3 2

1 2 3

1 1 3 0

2 2

样例输出

2

数据范围与提示

对于所有数据，1\le n,q\le 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106, 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

树状数组解法：

思路：这里需要用到差分数组，我们定义sum【i】为第i个数与第i-1个数的差，即sum【i】=a【i】-a【i-1】，这就使得a【i】=sum【1】+sum【2】+……sum【i】，就是sum数组的前缀和了，我们用数组数组维护sum数组的前缀和就好了。

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

ll sum[maxn];

int n,q;

int lowbit(int x){return x&(-x);}

void add(int x,int val){

    while(x<=n){

        sum[x]+=val;

        x+=lowbit(x);

    }

}

ll ask(int x){

    ll res=;

    while(x){

        res+=sum[x];

        x-=lowbit(x);

    }

    return res;

}

int main(){

    cin>>n>>q;

    ll tmp=;

    for(int i=;i<=n;i++){

        int x;

        cin>>x;

        add(i,x-tmp);

        tmp=x;

    }

    while(q--){

        int id,l,r,x;

        cin>>id;

        if(id==){

            cin>>l>>r>>x;

            add(l,x); add(r+,-x);

        }

        else{

            cin>>x;

            cout<<ask(x)<<endl;

        }

    }

    return ;

}

分块解法：

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

int n,q,block,num;

ll a[maxn],lazy[maxn],l[maxn],r[maxn],belong[maxn];

void build(){

    block=sqrt(n);

    num=n/block;

    if(n%block)num++;

    for(int i=;i<=num;i++)

        l[i]=(i-)*block+,r[i]=block*i;

    for(int i=;i<=n;i++) belong[i]=(i-)/block+;

}

void update(int x,int y,int z){

    if(belong[x]==belong[y]){

        for(int i=x;i<=y;i++)a[i]+=z;

        return;

    }

    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)a[i]+=z;

    for(int i=belong[x]+;i<belong[y];i++)lazy[i]+=z;

    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)a[i]+=z;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

        scanf("%lld",&a[i]);

    build();

    while(q--){

        int id,x,y,z;

        scanf("%d",&id);

        if(id==){

            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

            update(x,y,z);

        }

        else{

            scanf("%d",&x);

            printf("%lld\n",a[x]+lazy[belong[x]]);

        }

    }

    return ;

}

线段树解法：

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

int n,q;

ll a[maxn],tree[maxn*],lazy[maxn*];

void pushup(int rt){tree[rt]=tree[rt<<]+tree[rt<<|];}

void pushdown(int l,int r,int rt){

    if(lazy[rt]){

        tree[rt<<]+=lazy[rt]*l;

        tree[rt<<|]+=lazy[rt]*r;

        lazy[rt<<]+=lazy[rt];

        lazy[rt<<|]+=lazy[rt];

        lazy[rt]=;

    }

}

void build(int l,int r,int rt){

    if(l==r){

        tree[rt]=a[l];

        return;

    }

    int mid=l+r>>;

    build(l,mid,rt<<);

    build(mid+,r,rt<<|);

    pushup(rt);

}

void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){

    if(l>=L&&r<=R){

        tree[rt]+=val*(r-l+);

        lazy[rt]+=val;

        return ;

    }

    int mid=l+r>>;

    pushdown(mid-l+,r-mid,rt);

    if(mid>=L) update(L,R,val,l,mid,rt<<);

    if(mid<R) update(L,R,val,mid+,r,rt<<|);

    pushup(rt);

}

ll ask(int pos,int l,int r,int rt){

    if(l==pos&&l==r)

        return tree[rt];

    int mid=l+r>>;

    pushdown(mid-l+,r-mid,rt);

    ll ans;

    if(pos<=mid) return ask(pos,l,mid,rt<<);

    else return ask(pos,mid+,r,rt<<|);

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

        scanf("%lld",&a[i]);

    build(,n,);

    while(q--){

        int id,x,y,z;

        scanf("%d",&id);

        if(id==){

            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

            update(x,y,z,,n,);

        }

        else{

            scanf("%d",&x);

            printf("%lld\n",ask(x,,n,));

        }

    }

    return ;

}

#132. 树状数组 3 ：区间修改，区间查询

题目链接：https://loj.ac/problem/132

题目描述

这是一道模板题。

给定数列 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

  • 1 l r x：给定 l,r,xl,r,x，对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx（换言之，将 a[l], a[l+1], \dots, a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx）；
  • 2 l r：给定 l,rl,r，求 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值（换言之，求 a[l]+a[l+1]+\dots+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值）。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1\le n,q\le 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1],a[2],\dots,a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

  • 1 l r x：对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx；
  • 2 l r：输出 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值。

保证 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

输出格式

对于每个 2 l r 操作，输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

样例输入

5 10

2 6 6 1 1

2 1 4

1 2 5 10

2 1 3

2 2 3

1 2 2 8

1 2 3 7

1 4 4 10

2 1 2

1 4 5 6

2 3 4

样例输出

15

34

32

33

50

数据范围与提示

对于所有数据，1\le n,q\le 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106, 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

树状数组解法：

思路：与上一题差不多，我们继续用一个数组sum1【i】存第i个数与第i-1个数的差，即

sum1【x】=a【i】-a【x-1】，a【x】=sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】

我们也可以很容易得出：

a【1】+a【2】+……a【x】=sum1【1】+（sum1【1】+sum1【2】）+……（sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】）

=x*sum1【1】+（x-1）*sum1【2】+……sum1【x】

=x*（sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】）-∑(i=1-x)(i-1)*sum1[i]

,所以我们就多建立一个数组sum2用来维护（x-1）sum1【x】就好了。

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

ll sum1[maxn],sum2[maxn],a[maxn];

int n,q;

int lowbit(int x){return x&(-x);}

void add(int x,ll val){

    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){

        sum1[i]+=val;

        sum2[i]+=(x-)*val;

    }

}

ll ask(int x){

    ll res=;

    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){

        res+=x*sum1[i]-sum2[i];

    }

    return res;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++){

        scanf("%lld",&a[i]);

        add(i,a[i]-a[i-]);

    }

    while(q--){

        int id,l,r,x;

        scanf("%d",&id);

        if(id==){

            scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);

            add(l,x); add(r+,-x);

        }

        else{

            scanf("%d%d",&l,&r);

            printf("%lld\n",ask(r)-ask(l-));

        }

    }

    return ;

}

分块解法：

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

int n,q,num,block;

ll lazy[maxn],sum[maxn],a[maxn],l[maxn],r[maxn],belong[maxn];

void build(){

    block=sqrt(n);

    num=n/block;

    if(n%block)num++;

    for(int i=;i<=num;i++)

        l[i]=(i-)*block+,r[i]=i*block;

    r[num]=n;

    for(int i=;i<=n;i++)

        belong[i]=(i-)/block+;

    for(int i=;i<=num;i++)

        for(int j=l[i];j<=r[i];j++)

            sum[i]+=a[j];

}

void update(int x,int y,int val){

    if(belong[x]==belong[y]){

        for(int i=x;i<=y;i++) a[i]+=val;

        sum[belong[x]]+=(y-x+)*val;

        return;

    }

    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)a[i]+=val;

    for(int i=belong[x]+;i<belong[y];i++){

        sum[i]+=block*val;

        lazy[i]+=val;

    }

    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)a[i]+=val;

    sum[belong[x]]+=(r[belong[x]]-x+)*val;

    sum[belong[y]]+=(y-l[belong[y]]+)*val;

}

ll ask(int x,int y){

    ll res=;

    if(belong[x]==belong[y]){

        for(int i=x;i<=y;i++)res+=a[i]+lazy[belong[x]];

        return res;

    }

    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)res+=a[i]+lazy[belong[x]];

    for(int i=belong[x]+;i<belong[y];i++) res+=sum[i];

    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)res+=a[i]+lazy[belong[y]];

    return res;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

        scanf("%lld",&a[i]);

    build();

    while(q--){

        int id,x,y,z;

        scanf("%d",&id);

        if(id==){

            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

            update(x,y,z);

        }

        else{

            scanf("%d%d",&x,&y);

            printf("%lld\n",ask(x,y));

        }

    }

    return ;

}

线段树解法：

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

#define lson l,mid,rt<<1

#define rson mid+1,r,rt<<1|1

typedef long long ll;

const ll maxn=1e6+;

int n,q;

ll a[maxn],tree[maxn*],lazy[maxn*];

void pushup(int rt){tree[rt]=tree[rt<<]+tree[rt<<|];}

void pushdown(int l,int r,int rt){

    if(lazy[rt]){

        tree[rt<<]+=l*lazy[rt];

        tree[rt<<|]+=r*lazy[rt];

        lazy[rt<<]+=lazy[rt];

        lazy[rt<<|]+=lazy[rt];

        lazy[rt]=;

    }

}

void build(int l,int r,int rt){

    lazy[rt]=;

    if(l==r){

        tree[rt]=a[l];

        return;

    }

    int mid=l+r>>;

    build(lson);

    build(rson);

    pushup(rt);

}

void update(int L,int R,ll val,int l,int r,int rt){

    if(l>=L&&r<=R){

        tree[rt]+=val*(r-l+);

        lazy[rt]+=val;

        return;

    }

    int mid=l+r>>;

    pushdown(mid-l+,r-mid,rt);

    if(mid>=L) update(L,R,val,lson);

    if(mid<R) update(L,R,val,rson);

    pushup(rt);

}

ll ask(int L,int R,int l,int r,int rt){

    ll res=;

    if(l>=L&&r<=R) return tree[rt];

    int mid=l+r>>;

    pushdown(mid-l+,r-mid,rt);

    if(mid>=L) res+=ask(L,R,lson);

    if(mid<R) res+=ask(L,R,rson);

    return res;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

        scanf("%lld",&a[i]);

    build(,n,);

    while(q--){

        int id,x,y,z;

        scanf("%d",&id);

        if(id==){

            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

            update(x,y,z,,n,);

        }

        else{

            scanf("%d%d",&x,&y);

            printf("%lld\n",ask(x,y,,n,));

        }

    }

    return ;

}

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