DP:Sumsets(POJ 2229)

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 数的集合问题

　　题目大意：给定你一个整数m，你只能用2的k次幂来组合这个数，问你有多少种组合方式？

　　这一题一看，天啦太简单了，完全背包？是不是？

　　不过的确这一题可以用完全背包来想，但是交题绝对是TLE，如果真的是完全背包的做法那我就不用等那么多天再发这个坑，这一题的确要用到点奇妙的思想。

　　首先，我们忽略了这一题的最重要的一个条件，我们使用的数就是2次幂的，那么2次幂的数可以做什么呢？这就是一个数学问题了

　　不过不要怕，这个数学问题也很好想，

　　　　首先：任何一个奇数一定有1来组成，推论：任何偶数都可以只由除了1的数组成

　　　　其次，任何一个偶数都可以由一个数左移1来得到（参考二进制）

　　下面我们就用这两个数学结论来思考怎么简化递推。

　　回到问题上来，完全背包会TLE的原因是出在在第二个循环的时候对j进行了过多的枚举，那么我们在用这两个结论的时候必须避开这一点，最好一步到位，所以我们必须把个数全部压在前一次的情况上，那么我们可首先用结论1，对于任何一个奇数，我们都可以用上一个偶数+1（组合数不变，因为只能加这个1），且这个集合不能由其他集合直接得到，那么我们就得到第一个递推公式

　　　dp[j]=dp[j-1]  当j=奇数

　　现在用到第二个结论，因为我们的偶数可以从奇数得到，也可以从偶数得到，那么可以第一部分可以从dp[j-1]得到，另外一个部分就要思考结论2，因为我们只是左移，组合数是不变的，所以我们还可以从dp[j>>1]中得到另一部分的组合数，这样就避开了一个一个查找枚举i的背包了

　　所以综上，状态转移方程为：

　　　　dp[i]=dp[i-1]  当i是奇数

　　　　dp[i]=dp[i-1]+dp[i>>1]  当i是偶数　　

　　　　（注意这一题只显示9个数字）

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #define M 1000000000

 long long Combinatories[];

 int main(void)//这一题不能用完全背包，会超时
 {
     int N, i;
     Combinatories[] = ;//这个地方要设置成1

     for (i = ; i < ; i++)
     {
         if (i %  == )
             Combinatories[i] = Combinatories[i - ];
         else
             Combinatories[i] = Combinatories[i - ] + Combinatories[i >> ];
         Combinatories[i] %= M;
     }    

     while (~scanf("%d", &N))
         printf("%d\n", Combinatories[N] % M);

     return ;
 }