cojs 疯狂的重心 疯狂的机器人 题解报告

疯狂的重心

话说做过幻想乡战略游戏的人应该很容易切掉这道题目吧

我们考虑一棵树如果添加了一个叶子，那么其重心最多向叶子方向移动1的距离

而是否移动我们只需要记录子树中有多少个点就可以判断啦

也就是说这个叶子对于时间复杂度的贡献是1

那么我们考虑每次在x-y上添加一条边，等于将x所在的树和y所在的树合并

这一步我们可以采用启发式合并，每次把小的向大的里插

这样暴力合并的时间复杂度是O(nlogn)

也就等价于我们最多插入单个节点O(nlogn)

那么对于重心的计算显然也是O(nlogn)的

那么现在的瓶颈就是如何动态的维护子树中有多少个节点

对于这一步我们可以采用LCT维护，每次暴力合并之后链修改即可

在合并之后再暴力移动重心就可以辣，细节比较多也比较烦

不过主体都是暴力QAQ

疯狂的机器人

做了做BC上周的题目，有个裸的默慈金数

可以直接O(n)递推得到，做完之后一直想着能不能用FFT搞一搞

然后就把题目变了个形，但是并不知道有没有大神有O(n)递推的神做法

首先我们考虑操作中哪些操作走，设走的操作有i个

再考虑走的操作中哪些是向上走，设向上走的操作有j个

我们很容易发现当只能向右和向左走时，这个题实际上是合法进出栈序列，也就是卡特兰数

只能向上和向下走的时候也同理

很容易得到ans=sigma(C(n,i) *sigma( C(i,j) * f(j) * f(i-j))）

其中f(i)我们定义为当i为奇数时，f(i)=0

当i为偶数时，f(i)=catalan(i/2)

令g(i)=sigma(C(i,j) *f(j) *f(i-j))

不难发现这是个卷积形式，直接NTT即可

之后ans=sigma(C(n,i) *g(i) )

我们这一步直接枚举i计算其实就可以了

不过实际上这还是个卷积形式，依然可以NTT