HDU1028Ignatius and the Princess III(母函数)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

母函数：

例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。
如果用x的指数表示称出的重量，则：
    1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
    1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
    1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
    1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
    例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
    故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1

这样一来，一个括号内有多少个x，那么就表示有多少个砝码，如果有3个值为1的砝码，那么就是（1+x+x2+x3）,其中，xk中的k就表示用k个值为1的组成，他的系数为1，也就是说用只用值为1的要配出3出来只有一种方法。

按照上面的方法，3个值为2的砝码那就是（1 + x2 + x4 + x6）,x6相当于（x2）3，就是说3 个值为2的构成6。

那么，上面的x的函数就是母函数，可以用来解决组合问题（详细的可以参阅网上资料，也可以看下面两个简单应用）

 #include<stdio.h>

 int c1[],c2[];

 int main()
 {
     int n;
     while(~scanf("%d", &n))
     {
         int i;
         for(i = ;i <= n; i++)
         {
             c1[i] = ;
             c2[i] = ;
         }
         for(i =;i<=n;i++)//操作第i个括号
         {
             for(int j = ; j<= n;j++)//对于指数为j的进行操作
             {
                 for(int k = ;k+j<=n;k+=i)//吧第i个的每一个数与之前的结果相乘
                 {
                     c2[j+k]+=c1[j];//j+k指数相加，他的值就是这个指数的系数
                 }
             }
             for(int j = ;j<=n;j++)//系数保存在前面一个数组中
             {
                 c1[j] = c2[j];
                 c2[j] = ;
             }
         }
         printf("%d\n", c1[n]);
     }
     return ;
 }

另外，我还写了一个记忆化搜索的方法，虽然耗时耗空间，但是过了，挂在这里瞧瞧（15Ms，上面那个0Ms）

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<map>
 #include<vector>
 #include<set>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 #include<stdlib.h>
 using namespace std;
 #define MAX(a,b) (a > b ? a : b)
 #define MIN(a,b) (a < b ? a : b)
 #define MAXN 400005
 #define INF 2000000007
 #define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))

 int ans[];
 int vis[][],d[][];

 int dfs(int a, int b)
 {
     if(vis[a][b])return d[a][b];
     vis[a][b] = ;
     d[a][b] = ;
     for(int i = (a+)/; i <= a-b; i++)
     {
         d[a][b]+=dfs(i, a-i);
     }
     return d[a][b];
 }

 void f()
 {
     ans[] = ;
     ans[] = ;
     memset(vis,,sizeof(vis));
     for(int i = ; i<= ; i++)
     {
         ans[i] = ;
         for(int j = ; i-j >= j; j++)
         {
             ans[i]++;
             if(i-j >= *j)
             {
                 ans[i] += dfs(i-j, j);
                 ans[i] --;
             }
         }
     }
 }

 int main()
 {
     f();
     int n;
     while(~scanf("%d",&n))
     {
         printf("%d\n",ans[n]);
     }
     return ;
 }