Dynamic Rankings(树状数组套权值线段树)

给定一个含有n个数的序列a[1],a[2],a[3]……a[n],程序必须回答这样的询问:对于给定的i,j,k,在a[i],a[i+1],a[i+2]……a[j]中第k小的数是多少(1≤k≤j-i+1),并且,你可以改变一些a[i]的值,改变后,程序还能针对改变后的a继续回答上面的问题。你需要编一个这样的程序,从输入文件中读入序列a,然后读入一系列的指令,包括询问指令和修改指令。

对于每一个询问指令,你必须输出正确的回答。有两个正整数n(1≤n≤10000),m(1≤m≤10000)。分别表示序列的长度和指令的个数。

这道题就是一个带修区间第k大的问题,可以用cdq分治做,也可以用树套树做。由于有修改,如果暴力在主席树上修改,时间复杂度就爆炸了,单个修改都是\(O(nlogn)\)的。再看看查询,是\(O(logn)\)的,这就启发我们可不可以把它们两个平均一下,于是就用到了树状数组。在树状数组的每个区间上都建一颗权值线段树,维护此区间上每个值出现的个数(链+权值线段树=主席树,树状数组+权值线段树=带修主席树【滑稽】)。那么修改某一个数的值,会牵动到树状数组上logn个区间,然后权值线段树单点修改时间为\(O(logn)\),总时间是\(O(log^2nn)\)的。查询区间\([l, r]\)的第k大值,需要得到\([1, l-1]\)和\([1, r]\)的权值线段树,然后将它们相减,依然会牵动到logn个区间,由于权值线段树区间查询时间是\(O(logn)\),总时间也是\(O(logn^2n)\)的。注意要离散化,这题还是挺难写的。

所以说,数据结构可以平衡操作的时间复杂度。

P.S. 三个月后的我看到这篇博客仿佛看到了救星(要讲课啊妈蛋)

P.A. 四个月后的我忽然发现这个东西的本质和主席树的本质是不同的,因为主席树的每棵权值线段树是继承与前一棵权值线段树的,而它只是把插入和查询的前提复杂度变成了\(O(logn)\)而已。不过,我还是倾向于叫它带修主席树,因为它是主席树应用到树状数组上的自然推论。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std; const int maxn=2e4+5;
int n, m, a[maxn], b[maxn], cntb, rt[maxn];
int c1[maxn], c2[maxn], c3[maxn];
int size[maxn*400], cseg, ls[maxn*400], rs[maxn*400];
int tset1[maxn], tset2[maxn], cnt1, cnt2;
inline int lowbit(int x){ return x&(-x); } //树状数组上的权值线段树 void ins(int &now, int l, int r, int pos, int v){
if (!now) now=++cseg; size[now]+=v;
if (l==r) return; int mid=(l+r)>>1;
if (pos<=mid) ins(ls[now], l, mid, pos, v);
else ins(rs[now], mid+1, r, pos, v);
} void add(int x, int v){
int k=lower_bound(b+1, b+cntb+1, a[x])-b;
for (int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
ins(rt[i], 1, cntb, k, v);
} int query(int l, int r, int v){ //logn个权值线段树一起跳
if (l==r) return l;
int sum=0, mid=(l+r)>>1;
for (int i=1; i<=cnt1; ++i) sum-=size[ls[tset1[i]]];
for (int i=1; i<=cnt2; ++i) sum+=size[ls[tset2[i]]];
if (v<=sum){
for (int i=1; i<=cnt1; ++i) tset1[i]=ls[tset1[i]];
for (int i=1; i<=cnt2; ++i) tset2[i]=ls[tset2[i]];
return query(l, mid, v);
} else {
for (int i=1; i<=cnt1; ++i) tset1[i]=rs[tset1[i]];
for (int i=1; i<=cnt2; ++i) tset2[i]=rs[tset2[i]];
return query(mid+1, r, v-sum);
}
} inline void get(int &x){
char c; int flag=1;
for (; !isdigit(c=getchar()); ) if (c=='-') flag=-1;
for (x=c-48; c=getchar(), isdigit(c); )
x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
if (flag==-1) x=-x;
} int main(){
get(n); get(m); char c;
for (int i=1; i<=n; ++i) get(a[i]), b[++cntb]=a[i];
for (int i=0; i<m; ++i){
while (!isgraph(c=getchar()));
get(c1[i]); get(c2[i]);
if (c=='Q') get(c3[i]); else b[++cntb]=c2[i];
}
sort(b+1, b+cntb+1); cntb=unique(b+1, b+cntb+1)-b-1;
for (int i=1; i<=n; ++i) add(i, 1);
for (int i=0; i<m; ++i) if (c3[i]){
cnt1=cnt2=0; //把要查询的区间都标出来
for (int j=c1[i]-1; j; j-=lowbit(j)) tset1[++cnt1]=rt[j];
for (int j=c2[i]; j; j-=lowbit(j)) tset2[++cnt2]=rt[j];
printf("%d\n", b[query(1, cntb, c3[i])]);
} else { add(c1[i], -1); a[c1[i]]=c2[i]; add(c1[i], 1); }
return 0;
}

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