剑指Offer - 九度1348 - 数组中的逆序对

剑指Offer - 九度1348 - 数组中的逆序对
2014-01-30 23:19

题目描述：

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

输入：

每个测试案例包括两行：

第一行包含一个整数n，表示数组中的元素个数。其中1 <= n <= 10^5。

第二行包含n个整数，每个数组均为int类型。

输出：

对应每个测试案例，输出一个整数，表示数组中的逆序对的总数。

样例输入：

4
7 5 6 4

样例输出：

5

题意分析：
　　这一题的任务是求出一个数组的逆序数，也就是只通过交换相邻元素的方式，将这个数组排成升序的最少交换次数。定义可参见百度百科：逆序数。
　　按照冒泡或者选择排序的方法，能很直观地求出逆序数，因为执行的操作就是交换相邻元素。但问题也很明显，效率太低无法满足时间要求。
　　快速排序、堆排序、归并排序应该都能对应地找出算逆序数的方法，而且时间上有优势。三者中归并排序的写法和分析方法明显比另外两者要简单，于是我选择了归并排序。
　　归并排序的思路很简单：
　　　　1. 排序前一半
　　　　2. 排序后一半
　　　　3. 合并两个已排序的子数组
　　对于a[i]~a[j]和a[j+1]~a[k]这么两段儿，如果两段都已经排好了序，且存在左半段的某个a[x]>右半段的某个a[y]的话，那么a[x]、a[x+ 1]、...、a[j]必然都大于a[y]。
　　按上面那种算法，一次就多了j-x+1个逆序数。这么一来，就不用一个一个地算了。要是真一个一个地算逆序数，时间复杂度必然是O(n^2)了，因为逆序数本身就是O(n^2)数量级的。
　　最后，别忘了用64位整数来存结果，因为10^5个数，逆序数最多可以是5*10^左右，超出了int的范围。
　　时间复杂度O(n * log(n))，空间复杂度O(n)。

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 //
 #include <cstdio>
 using namespace std;

 const int MAXN = ;
 int a[MAXN];
 int n;
 long long int res;
 int tmp[MAXN];

 void merge_sort_recursive(int a[], int ll, int rr)
 {
     if (ll >= rr) {
         return;
     }
     int mm;
     mm = (ll + rr) / ;
     merge_sort_recursive(a, ll, mm);
     merge_sort_recursive(a, mm + , rr);

     int i, j, k;

     i = ll;
     j = mm + ;
     k = ll;
     while (true) {
         if (i <= mm) {
             if (j <= rr) {
                 if (a[i] <= a[j]) {
                     tmp[k++] = a[i++];
                 } else {
                     tmp[k++] = a[j++];
                     res += mm - i + ;
                 }
             } else {
                 tmp[k++] = a[i++];
             }
         } else {
             if (j <= rr) {
                 tmp[k++] = a[j++];
             } else {
                 break;
             }
         }
     }
     for (i = ll; i <= rr; ++i) {
         a[i] = tmp[i];
     }
 }

 int main()
 {
     int i;

     while (scanf("%d", &n) == ) {
         for (i = ; i < n; ++i) {
             scanf("%d", &a[i]);
         }
         res = ;
         merge_sort_recursive(a, , n - );
         printf("%lld\n", res);
     }

     return ;
 }