[bzoj2111][ZJOI2010]Perm 排列计数 ——问题转换,建立数学模型
题目大意
称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的,当且仅当2<=i<=N时,Pi>Pi/2. 计算1,2,...N的排列中有多少是Magic的,答案可能很大,只能输出模P以后的值。
题解
- 问题转换,建立模型。
可以发现,本题就是要求小根完全二叉树的个数。 - 树上dp
定义f[n]为以n为根的完全二叉树个数。
根据乘法原理,
f[n] = f[i<<1] * f[i<<1|1] * C(s[i]-1, i << 1)
可以知道,n可以从后向前递推。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e6+5;
#define ll long long
int n, p;
int f[maxn], s[maxn];
int fact[maxn], ifact[maxn];
int pow(int a, int b, int p) {
int ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) ans = (ll) ans * a % p;
b >>= 1;
a = (ll)a * a %p;
}
return ans;
}
int inv(int n, int p) {
return pow(n, p-2, p);
}
void init() {
fact[1] = 1;
ifact[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
fact[i] = (ll)i * fact[i-1] % p;
ifact[i] = inv(fact[i], p);
}
}
int C(int n, int m, int p) {
if(n < m) return 0;
return (ll)fact[n] * ifact[m] % p * ifact[n-m] % p;
}
int lucas(int n, int m, int p) {
if(!n && !m) return 1;
return (ll)C(n%p, m%p, p) * lucas(n/p, m/p, p) % p;
}
int main() {
ifact[0] = 1;
scanf("%d %d", &n, &p);
init();
for(int i = n; i; i--) {
s[i] = s[i<<1] + s[i << 1|1] + 1;
f[i] = lucas(s[i]-1, s[i<<1], p);
if(i << 1 <= n) f[i] = (ll)f[i] * f[i<<1] % p;
if((i << 1 | 1) <= n) f[i] = (ll)f[i] * f[i<<1|1] % p;
}
printf("%d", f[1]);
}
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