MATLAB线性方程组的迭代求解法

MATLAB线性方程组的迭代求解法

作者：凯鲁嘎吉 - 博客园
http://www.cnblogs.com/kailugaji/

一、实验目的

1． 借助矩阵按模最大特征值，判断解方程组的Jacobi迭代法所得迭代序列的敛散性。

2． 会在Jacobi迭代法所得迭代序列收敛时，用修改后的Gauss-Seidel迭代法。

3． 会逐次超松驰迭代法。

二、实验原理

三、实验程序

四、实验内容

用上面前二种方法求解4元线性方程组的近似解，所选方程组尽可能可以用多种方法求得收敛解。

注：要注意判断迭代法收敛性，方法之一就是用程序求矩阵的按模最大特征值。

五、解答

1.(程序)

（1）Jacobi迭代法源程序：

function x=jacobi(a,b,x0,n,tol,m)
x=zeros(n,1);
for k=0:m
    for i=1:n
        s=0;
        for j=1:n
            if j~=i
                s=s+a(i,j)*x0(j,1);
            end
        end
        x(i,1)=(b(i,1)-s)/a(i,i);
        if norm(x-x0,inf)<tol
            break;
        end
        x0(i,1)=x(i,1);
    end
end

（2）Gauss-Seidel迭代法源程序：

function x=gauss_seidel(a,b,x0,n,tol,m)
x=zeros(n,1);
for k=0:m
    for i=1:n
        s=0;s2=0;
        for j=1:i-1
            s2=s2+a(i,j)*x(j,1);
        end
        for j=i+1:n
                s=s+a(i,j)*x0(j,1);
        end
        x(i,1)=(b(i,1)-s-s2)/a(i,i);
        if norm(x-x0,inf)<tol
            break;
        end
        x0(i,1)=x(i,1);
    end
end

2.(运算结果)

(1)求解线性方程组

>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20 33 36]';x0=[0 0 0]';
>> x=jacobi(a,b,x0,3,1e-6,50)

x =

    3.0000
    2.0000
    1.0000

（2）Gauss-Seidel迭代法

>>  a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20 33 36]';x0=[0 0 0]';
>> x=gauss_seidel(a,b,x0,3,1e-6,50)

x =

    3.0000
    2.0000
    1.0000

3.(拓展（方法改进、体会等）)

逐次超松驰迭代法源程序：

function x=SOR(a,b,x0,n,w,tol,m)
x=zeros(n,1);
for k=0:m
    for i=1:n
        s=0;s2=0;
        for j=1:i-1
            s2=s2+a(i,j)*x(j,1);
        end
        for j=i+1:n
                s=s+a(i,j)*x0(j,1);
        end
        x(i,1)=(1-w)*x0(i,1)+w*(b(i,1)-s-s2)/a(i,i);
        if norm(x-x0,inf)<tol
            break;
        end
        x0(i,1)=x(i,1);
    end
end

运算结果：

>>  a=[-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4];b=[1 1 1 1]';x0=[0 0 0 0]';
>> x=SOR(a,b,x0,4,1,1e-6,20)

x =

   -1.0000
   -1.0000
   -1.0000
   -1.0000