Some Conclusions.

DP
- 四边形不等式
数论 & 数学
数据结构
- 树链剖分
图论
- 树
字符串
- 后缀自动机
复杂度分析

没什么好写的。。（懒得补）

一些博客：http://www.cnblogs.com/GuessYCB/p/9090878.html

http://www.cnblogs.com/fenghaoran/p/remember.html

DP

四边形不等式

参考

一般对于如下形式状态转移方程：$f[i][j]=\min\ or\ \max(f[i][k-1],f[k][j])+cost[i][j]$，$i<j$且$i<k\leq j$。

1. 四边形不等式

　　若一个函数$cost[i][j]$，满足 $cost[i][j]+cost[i'][j']\leq cost[i][j']+cost[i'][j]$，其中 $i\leq i'<j\leq j'$，则称$cost$满足凸四边形不等式。(可理解为两交错区间之和不超过大区间与小区间之和)

2. 区间包含的单调性

　　若一个函数$cost[i][j]$，满足 $cost[i'][j]\leq cost[i][j']$，其中 $i\leq i'<j\leq j'$，则称$cost$关于区间包含关系单调。(可理解为被包含的小区间$cost$之和不超过大区间)

3. 定理一

　　若$cost$同时满足四边形不等式和区间单调关系，则 $f$ 也满足四边形不等式。

4. 定理二(关键)

　　若 $f$ 满足四边形不等式，则决策单调，即 $P[i][j-1]\leq P[i][j]\leq P[i+1][j]$ 或 $P[i-1][j]\leq P[i][j]\leq P[i][j+1]$ 等，此处可据需要表示，只要 $P$ 符合单调即可。据此可以缩小决策枚举区间，进行优化。

5. 定理三

　　$cost$为凸当且仅当 $cost[i][j]+cost[i+1][j+1]\leq cost[i+1][j]+cost[i][j+1]$。

　　据此可以简单验证cost是否满足凸四边形不等式，将 $i'$ 具体为 $i+1$，$j'$ 具体为 $j+1$，然后对式子变形，再固定一个变量，看做一个一元函数，进而判断单调性。如可变形为 $cost[i+1][j+1]-cost[i+1][j]\leq cost[i][j+1]-cost[i][j]$，固定 $j$，看 $cost[i][j+1]-cost[i][j]$ 是关于 $i$ 递增还是递减，若是递增，则cost为凸。

　　实际中大多只需打表观察cost是否满足四边形不等式、是否单调即可。具体可以见上面的链接。。（懒得再写）

数论 & 数学

见这儿。

数据结构

树链剖分

1. 如果边 u->v 为轻边，那么 $size[v]\leq size[u]/2$。

证明：若 $size[v]>size[u]/2$，那么 u->v 会成为一条重边。

2. 树中任意两个节点之间的路径中重链、轻边的条数均不会超过$log_2n$，即树上任意一条链由不超过$log_2n$条重链和轻边组成。

证明：从根到任意非根节点每遇到一条轻边，size至少会减半。

### 左偏树的性质及$O(n)$的构造
[就粘个链接吧](http://www.yhzq-blog.cc/%e5%b7%a6%e5%81%8f%e6%a0%91%e5%ad%a6%e4%b9%a0%e6%80%bb%e7%bb%93/)。

图论

树

重心直径的性质（参考：这里和这里，以及平时做的一些题）

（定义）删去重心后的树尽可能平衡，即以重心为根，所有子树大小都不超过整棵树的一半。
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。例：BZOJ3510 首都.
把两棵树通过某一点相连得到一颗新的树，新的树的重心必然在连接原来两棵树重心的路径上。
一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
树的中心一定在直径的中点上。树的中心是到最远点的距离最小的点。
从树上任意一个点 $dfs$，所到达的所有最远的点都是直径的端点。
树的所有直径必交于某一点或某条边。

### 二分图
**1. 若一个图不存在奇环，那么这是二分图；如果含有奇一定不是二分图是二分图。（二分图中的环只能是偶环，无奇环）**

### 竞赛图
**Defination：**每对顶点之间都有一条(有向)边相连的有向图。
**性质：（[证明见这](http://www.cnblogs.com/SovietPower/p/8461802.html)）**
**1. 竞赛图一定存在哈密顿通路，强连通竞赛图一定存在哈密顿回路（强连通为其充要条件）。**
**2. $(n\geq 3\ ,3\leq i\leq n)$ n个点的强连通竞赛图中包含有长度为i的简单环。**
**3. 竞赛图缩点后一定是条链。**

### 平面图
**Defination：**若能将无向图G=(V,E)画在平面上使得任意两条无重合顶点的边不相交，则称G是平面图。
link: [可平面图--百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%AF%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%9B%BE/19138688?fr=aladdin)
**性质：平面图的边数 $m\leq3*n-6$.**
应用：在平面图中将边数降到$O(n)$级别，如[BZOJ1997](http://www.cnblogs.com/SovietPower/p/8487571.html).

### 双连通分量
**Point(Edge) Biconnected Component)**
**Defination：**双连通分量分双连通分量和边双连通分量两种。若一个无向图中的去掉任意一个节点（一条边）都不会改变此图的连通性，即不存在割点（桥），则称作点（边）双连通图。
link: [双连通分量--百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%8C%E8%BF%9E%E9%80%9A%E5%88%86%E9%87%8F/5339004?fr=aladdin)
**性质1：如果一个双连通分量内的某些顶点在一个奇圈中(即双连通分量含有奇圈)，那么这个双连通分量的其他顶点也在某个奇圈中；**
**性质2：如果一个双连通分量含有奇圈，则他必定不是一个二分图。反过来也成立，这是一个充要条件。**

字符串

后缀自动机

　　https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9118563.html。

复杂度分析

1.

大$O$：

　　我们用记号$O(n)$表示一个量时（这个量关于$n$的阶不超过$n$的阶），它本身是否真的包含阶为$n$的项，都是不确定的。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——巴赫曼

公式$$f(n)=O(g(n))，对所有n成立 \tag{1}$$

表示存在一个常数$C$，使得$$|f(n)|\leq C|g(n)|，对所有n成立 \tag{2}$$

大$\Omega$：

大$O$给出了函数增长的上界，而下界有另外的一个记号，即大$\Omega$。

\[f(n)=\Omega(g(n))\Leftrightarrow|f(n)|\geq C|g(n)|\ \ \ \ 对某个C>0 \tag{3}
\]

大$\mathcal O$：

大$\mathcal O$指出精确的增长的阶：$$f(n)=\mathcal O(g(n))\Leftrightarrow f(n)=O(g(n))且f(n)=\Omega(g(n)) \tag{4}$$

小$o$：

爱德蒙·兰道曾创立过一个“小$o$”记号，$$f(n)=o(g(n))\Leftrightarrow|f(n)|\leq\varepsilon|g(n)|\ \ \ \ 所有n\geq n_0(\varepsilon)以及所有常数\varepsilon>0 \tag{5}$$

2. 均摊$\leq$严格$<$期望

　　(非持久化下)均摊 $O(n)=$ 严格 $O(n)$。

　　期望 $O(n)$ 仅在数据随机情况下 $O(n)$，但是好像很难卡掉？

3. 启发式合并的总复杂度为 $O(n\log n)$，因为每个点最多被合并 $O(\log n)$ 次。

　　每个点被从小集合合并到大的集合中时，它的集合大小会翻倍。

　　支持finger search的数据结构启发式合并都是一个$\log$的，比如splay。

4. 复杂度均摊的数据结构不能实现可持久化。

5. LCT的本质是用Splay维护链剖分。LCT不用别的平衡树维护是因为Splay均摊分析下是$O(\log n)$，其它平衡树是$O(\log^2n)$。

6. 形如这样的树形DP的复杂度：

void DFS(int x,int fa)

...

DFS(v=son[x],x);

for(int i=0; i<=size[x]; ++i)

	for(int j=0; j<=size[v]; ++j)

		tmp[i+j]=f[x][i]*f[v][j];

size[x]+=size[v];

...

复杂度是$O(n^2)$的。可以理解为每个点对只会在LCA处被统计一次，也可以归纳：

$T(a+b)=T(a)+T(b)+ab\\\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+ab$

所以$T(n)=\frac{n^2}{2}$

或者：

7. 我个人对线段树合并复杂度的感性证明...（为啥这几段引用不能合起来啊）

每次合并两棵树，代价是两棵树的公共节点数，设它是$x$。

在合并完两棵树后，这两棵树的$2*x$个公共节点被合并成了$x$个，相当于删掉了$x$个点。

所以合并的代价（复杂度）就是，被合并点的点的个数，也就是删掉的点的个数。

而要删掉这个点就要先存在这个点，初始一共有$n\log n$个节点，所以删掉点的个数不会超过$n\log n$，所以总复杂度不会超过$n\log n$。

如果初始是对每个节点进行一次区间修改，和插入单点一样只会影响$\log n$个点，所以初始还是一共最多有$n\log n$个点。

另外复杂度也不完全是公共节点数，因为还要从它往下一层才知道它是公共节点。

也许是这个能卡些线段树合并的复杂度吧，但是影响不大不管了。

8. $\frac{2^{2n}}{C_{2n}^n}=O(\sqrt n)$。