【NOI P模拟赛】(要素过多的标题)（容斥原理）

题面

0 题目背景

[

数
 

据
 

删
 

除

]

_{^{[数\,据\,删\,除]}}

[数据删除]​

1 题目描述

在执行任务时，收集到了

n

n

n 份能源，其中第

i

i

i 份的能量值是

w

i

w_i

wi​ ，她决定将它们分成恰好

k

k

k 组带回基地，每一组都要有至少

1

\tt1

1 份能源。

每一组能源会对运输设备产生负荷值，若该组有

x

x

x 份能源，这

x

x

x 份能源能量值之和为

y

y

y , 则产生的负荷值为

x

×

y

x × y

x×y 。

每种分组方案产生的负荷是每一组能源产生的负荷值总和，想知道所有可能的分组方案产生的负荷之和对

998244353

\tt998244353

998244353 取模的结果。

2 输入格式

输入文件 ichigo.in 包含 2 行。

第 1 行输入两个正整数分别表示

n

,

k

n, k

n,k 。

第 2 行输入

n

n

n 个正整数，其中第

i

i

i 个正整数表示

w

i

w_i

wi​ 。

3 输出格式

输出文件 ichigo.out 包含一行，仅一个非负整数，表示答案对

998244353

\tt998244353

998244353 取模的结果。

题解

翻译一下，第

i

i

i 份能源的贡献为（所有情况下【

i

i

i 所在的组的大小】之和）×

w

i

w_i

wi​ 。

然后这个括号里的（所有情况下【

i

i

i 所在的组的大小】之和），对于每个

i

i

i 来说地位是等同的，所以我们求的最终答案就是（所有情况下【一号所在的组的大小】之和）×

∑

w

i

\sum w_i

∑wi​ 。

我们令（ 所有情况下【一号所在的组的大小】之和）为

a

s

as

as 。

首先我们发现，分成

k

k

k 组是无序的，不好办，我们就先让他有序，给每一组一个

1

∼

k

1\sim k

1∼k 的标号，答案除去

k

!

k!

k! 就行了。（这里，不少人会选择【斯特林数】推导，但是这并不方便计算我们的目标）

然后，就可以将

n

n

n 份能源放入

k

k

k 个桶中，统计每份能源与一号能源碰面的概率之和，再乘上总方案数，就能求出 不强制每个桶非空 的答案了：

(

1

k

⋅

(

n

−

1

)

+

1

)

⋅

k

n

(\frac{1}{k}\cdot(n-1)+1)\cdot k^n

(k1​⋅(n−1)+1)⋅kn

接下来用容斥，我们令条件

A

i

A_i

Ai​ 为桶

i

i

i 非空，求所有条件都满足的答案。

可得

a

s

=

∑

i

=

1

k

(

−

1

)

k

−

i

(

(

1

i

(

n

−

1

)

+

1

)

⋅

i

n

)

⋅

(

k

i

)

k

!

as=\frac{\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i} \left(\Big(\frac{1}{i}(n-1)+1\Big)\cdot i^n \right)\cdot {k\choose i}}{k!}

as=k!∑i=1k​(−1)k−i((i1​(n−1)+1)⋅in)⋅(ik​)​

即最终答案为

(

∑

w

i

)

⋅

∑

i

=

1

k

(

−

1

)

k

−

i

(

(

1

i

(

n

−

1

)

+

1

)

⋅

i

n

)

⋅

(

k

i

)

k

!

(\sum w_i)\cdot\frac{\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i} \left(\Big(\frac{1}{i}(n-1)+1\Big)\cdot i^n \right)\cdot {k\choose i}}{k!}

(∑wi​)⋅k!∑i=1k​(−1)k−i((i1​(n−1)+1)⋅in)⋅(ik​)​

时间复杂度

O

(

n

log

⁡

n

)

O(n\log n)

O(nlogn) 。

瓶颈在于求

1

∼

k

1\sim k

1∼k 的

n

n

n 次方用了快速幂，可以用线性筛优化至

O

(

n

)

O(n)

O(n) 。

CODE

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <random>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
int xchar() {
    static const int maxn = 1000000;
    static char b[maxn];
    static int len = 0, pos = 0;
    if (pos == len)
        pos = 0, len = fread(b, 1, maxn, stdin);
    if (pos == len)
        return -1;
    return b[pos++];
}
//#define getchar() xchar()
LL read() {
    LL f = 1, x = 0;
    int s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') {
        if (s < 0)
            return -1;
        if (s == '-')
            f = -f;
        s = getchar();
    }
    while (s >= '0' && s <= '9') {
        x = x * 10 + (s ^ 48);
        s = getchar();
    }
    return f * x;
}
void putpos(LL x) {
    if (!x)
        return;
    putpos(x / 10);
    putchar('0' + (x % 10));
}
void putnum(LL x) {
    if (!x) {
        putchar('0');
        return;
    }
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    return putpos(x);
}
void AIput(LL x, int c) {
    putnum(x);
    putchar(c);
}

const int MOD = 998244353;
int n, m, s, o, k;
int qkpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1)
            res = res * 1ll * a % MOD;
        a = a * 1ll * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int fac[MAXN], inv[MAXN], invf[MAXN];
int C(int n, int m) {
    if (m < 0 || m > n)
        return 0;
    return fac[n] * 1ll * invf[n - m] % MOD * invf[m] % MOD;
}
int dp[MAXN];
int main() {
    freopen("ichigo.in", "r", stdin);
    freopen("ichigo.out", "w", stdout);
    n = read();
    k = read();
    fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = invf[0] = invf[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * 1ll * i % MOD;
        inv[i] = (MOD - inv[MOD % i]) * 1ll * (MOD / i) % MOD;
        invf[i] = invf[i - 1] * 1ll * inv[i] % MOD;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) (ans += read()) %= MOD;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        int al = qkpow(i, n);
        dp[i] = (inv[i] * 1ll * (n - 1) % MOD + 1) * 1ll * al % MOD;
    }
    int as = 0;
    for (int i = k, l = 1; i > 0; i--, l = MOD - l) {
        (as += l * 1ll * dp[i] % MOD * 1ll * C(k, i) % MOD) %= MOD;
    }
    as = as * 1ll * invf[k] % MOD;
    ans = ans * 1ll * as % MOD;
    AIput(ans, '\n');
    return 0;
}