理解GloVe模型（Global vectors for word representation）

理解GloVe模型

概述

模型目标：进行词的向量化表示，使得向量之间尽可能多地蕴含语义和语法的信息。
输入：语料库
输出：词向量
方法概述：首先基于语料库构建词的共现矩阵，然后基于共现矩阵和GloVe模型学习词向量。
开始
统计共现矩阵
训练词向量
结束
统计共现矩阵

设共现矩阵为XX，其元素为Xi,jXi,j。
Xi,jXi,j的意义为：在整个语料库中，单词ii和单词jj共同出现在一个窗口中的次数。
举个栗子：
设有语料库：

i love you but you love him i am sad
这个小小的语料库只有1个句子，涉及到7个单词：i、love、you、but、him、am、sad。
如果我们采用一个窗口宽度为5（左右长度都为2）的统计窗口，那么就有以下窗口内容：

窗口标号 中心词 窗口内容
0 i i love you
1 love i love you but
2 you i love you but you
3 but love you but you love
4 you you but you love him
5 love but you love him i
6 him you love him i am
7 i love him i am sad
8 am him i am sad
9 sad i am sad
窗口0、1长度小于5是因为中心词左侧内容少于2个，同理窗口8、9长度也小于5。
以窗口5为例说明如何构造共现矩阵：
中心词为love，语境词为but、you、him、i；则执行：
Xlove,but+=1
Xlove,but+=1

Xlove,you+=1
Xlove,you+=1

Xlove,him+=1
Xlove,him+=1

Xlove,i+=1
Xlove,i+=1

使用窗口将整个语料库遍历一遍，即可得到共现矩阵XX。
使用GloVe模型训练词向量

模型公式

先看模型，代价函数长这个样子：
J=∑i,jNf(Xi,j)(vTivj+bi+bj−log(Xi,j))2
J=∑i,jNf(Xi,j)(viTvj+bi+bj−log(Xi,j))2

vivi，vjvj是单词ii和单词jj的词向量，bibi，bjbj是两个标量（作者定义的偏差项），ff是权重函数（具体函数公式及功能下一节介绍），NN是词汇表的大小（共现矩阵维度为N∗NN∗N）。
可以看到，GloVe模型没有使用神经网络的方法。
模型怎么来的

那么作者为什么这么构造模型呢？首先定义几个符号：
Xi=∑j=1NXi,j
Xi=∑j=1NXi,j

其实就是矩阵单词ii那一行的和；
Pi,k=Xi,kXi
Pi,k=Xi,kXi

条件概率，表示单词kk出现在单词ii语境中的概率；
ratioi,j,k=Pi,kPj,k
ratioi,j,k=Pi,kPj,k

两个条件概率的比率。
作者的灵感是这样的：
作者发现，ratioi,j,kratioi,j,k这个指标是有规律的，规律统计在下表：
ratioi,j,kratioi,j,k的值 单词j,k单词j,k相关 单词j,k单词j,k不相关
单词i,k单词i,k相关 趋近1 很大
单词i,k单词i,k不相关 很小 趋近1
很简单的规律，但是有用。
思想：假设我们已经得到了词向量，如果我们用词向量vivi、vjvj、vkvk通过某种函数计算ratioi,j,kratioi,j,k，能够同样得到这样的规律的话，就意味着我们词向量与共现矩阵具有很好的一致性，也就说明我们的词向量中蕴含了共现矩阵中所蕴含的信息。
设用词向量vivi、vjvj、vkvk计算ratioi,j,kratioi,j,k的函数为g(vi,vj,vk)g(vi,vj,vk)（我们先不去管具体的函数形式），那么应该有：
Pi,kPj,k=ratioi,j,k=g(vi,vj,vk)
Pi,kPj,k=ratioi,j,k=g(vi,vj,vk)

即：
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)

即二者应该尽可能地接近；
很容易想到用二者的差方来作为代价函数：
J=∑i,j,kN(Pi,kPj,k−g(vi,vj,vk))2
J=∑i,j,kN(Pi,kPj,k−g(vi,vj,vk))2

但是仔细一看，模型中包含3个单词，这就意味着要在N∗N∗NN∗N∗N的复杂度上进行计算，太复杂了，最好能再简单点。
现在我们来仔细思考g(vi,vj,vk)g(vi,vj,vk)，或许它能帮上忙；
作者的脑洞是这样的：
1. 要考虑单词ii和单词jj之间的关系，那g(vi,vj,vk)g(vi,vj,vk)中大概要有这么一项吧：vi−vjvi−vj；嗯，合理，在线性空间中考察两个向量的相似性，不失线性地考察，那么vi−vjvi−vj大概是个合理的选择；
2. ratioi,j,kratioi,j,k是个标量，那么g(vi,vj,vk)g(vi,vj,vk)最后应该是个标量啊，虽然其输入都是向量，那內积应该是合理的选择，于是应该有这么一项吧：(vi−vj)Tvk(vi−vj)Tvk。
3. 然后作者又往(vi−vj)Tvk(vi−vj)Tvk的外面套了一层指数运算exp()exp()，得到最终的g(vi,vj,vk)=exp((vi−vj)Tvk)g(vi,vj,vk)=exp((vi−vj)Tvk)；
最关键的第3步，为什么套了一层exp()exp()？
套上之后，我们的目标是让以下公式尽可能地成立：
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)

即：
Pi,kPj,k=exp((vi−vj)Tvk)
Pi,kPj,k=exp((vi−vj)Tvk)

即：
Pi,kPj,k=exp(vTivk−vTjvk)
Pi,kPj,k=exp(viTvk−vjTvk)

即：
Pi,kPj,k=exp(vTivk)exp(vTjvk)
Pi,kPj,k=exp(viTvk)exp(vjTvk)

然后就发现找到简化方法了：只需要让上式分子对应相等，分母对应相等，即：
Pi,k=exp(vTivk)并且Pj,k=exp(vTjvk)
Pi,k=exp(viTvk)并且Pj,k=exp(vjTvk)

然而分子分母形式相同，就可以把两者统一考虑了，即：
Pi,j=exp(vTivj)
Pi,j=exp(viTvj)

本来我们追求：
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)

现在只需要追求：
Pi,j=exp(vTivj)
Pi,j=exp(viTvj)

两边取个对数：
log(Pi,j)=vTivj
log(Pi,j)=viTvj

那么代价函数就可以简化为：
J=∑i,jN(log(Pi,j)−vTivj)2
J=∑i,jN(log(Pi,j)−viTvj)2

现在只需要在N∗NN∗N的复杂度上进行计算，而不是N∗N∗NN∗N∗N，现在关于为什么第3步中，外面套一层exp()exp()就清楚了，正是因为套了一层exp()exp()，才使得差形式变成商形式，进而等式两边分子分母对应相等，进而简化模型。
然而，出了点问题。
仔细看这两个式子：
log(Pi,j)=vTivj和log(Pj,i)=vTjvi
log(Pi,j)=viTvj和log(Pj,i)=vjTvi

log(Pi,j)log(Pi,j)不等于log(Pj,i)log(Pj,i)但是vTivjviTvj等于vTjvivjTvi；即等式左侧不具有对称性，但是右侧具有对称性。
数学上出了问题。
补救一下好了。
现将代价函数中的条件概率展开：
log(Pi,j)=vTivj
log(Pi,j)=viTvj

即为:
log(Xi,j)−log(Xi)=vTivj
log(Xi,j)−log(Xi)=viTvj

将其变为：
log(Xi,j)=vTivj+bi+bj
log(Xi,j)=viTvj+bi+bj

即添了一个偏差项bjbj，并将log(Xi)log(Xi)吸收到偏差项bibi中。
于是代价函数就变成了：
J=∑i,jN(vTivj+bi+bj−log(Xi,j))2
J=∑i,jN(viTvj+bi+bj−log(Xi,j))2

然后基于出现频率越高的词对儿权重应该越大的原则，在代价函数中添加权重项，于是代价函数进一步完善：
J=∑i,jNf(Xi,j)(vTivj+bi+bj−log(Xi,j))2
J=∑i,jNf(Xi,j)(viTvj+bi+bj−log(Xi,j))2

具体权重函数应该是怎么样的呢？
首先应该是非减的，其次当词频过高时，权重不应过分增大，作者通过实验确定权重函数为：
f(x)={(x/xmax)0.75,1,if x<xmaxif x>=xmax
f(x)={(x/xmax)0.75,if x<xmax1,if x>=xmax

到此，整个模型就介绍完了。
说明

如果错误，敬请指正。
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作者：饺子醋
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/coderTC/article/details/73864097
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