bzoj 3027 [Ceoi2004] Sweet —— 生成函数

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3027

就是 (1+x+x²+...+x^m[i]) 乘起来；

原来想和背包一样做，然而时限很短，数组也开不了很多，本来以为勉强一下也可以，后来突然发现不行...

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int const xn=1e7+,mod=;
int n,a,b,s[xn],m;
int rd()
{
  int ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=(ret<<)+(ret<<)+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
int main()
{
  n=rd(); a=rd(); b=rd(); m=rd();
  for(int i=;i<=m;i++)s[i]=i+;
  for(int i=m+;i<=b;i++)s[i]=s[m];//
  for(int i=;i<=n;i++)
    {
      m=rd();
      //mx=min(mx+m[i],b);
      for(int j=b;j>=;j--)//
      if(j-m->=)s[j]=upt(s[j]-s[j-m-]);
      for(int j=;j<=b;j++)s[j]=upt(s[j]+s[j-]);
    }
  int ans=s[b];
  if(a)ans=upt(ans-s[a-]);
  printf("%d\n",ans);
  return ;
}

TLE

首先，要化简这个多项式，得到 ∏(1-x^m[i]+1) / (1-x)ⁿ

可以把分子和分母分开，分母就是熟悉的 ∑ C(n+i-1,n-1)*xⁱ

而分子一共只有 n 项，可以 2ⁿ 搜出每个系数；

然后把二者组合在一起，对于搜出的 k * x^y ，对答案有贡献还需要把 x^y 变成 x^a ~ x^b ；

所以对应分母多项式的 x^a-y ~ x^b-y 的系数，是连续的组合数求和，杨辉三角里的一列；

但是模数不是质数，所以组合数不好算；

参考TJ，竟然可以对组合数和模数都乘 n!，就可以 O(n) 直接乘得到组合数了，最后把答案除以 n! 即可；

如果把搜到的系数存下来，最后遍历，复杂度反而成了 O(bn) ... 不如直接在搜索里计算，有值才算上，复杂度 O(n*2ⁿ)。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=,xm=1e7+,mod=;
int n,a,b,m[xn];
ll fac,p,ans;
int rd()
{
  int ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=(ret<<)+(ret<<)+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll upt(ll x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
ll C(int n,int m)
{
  if(n<m)return ;//!
  ll ret=;
  for(int i=n-m+;i<=n;i++)ret=(ret*i)%p;
  return ret;
}
void dfs(int x,int s,int t)
{
  if(x==n+)
    {
      ans+=s*(C(n+b-t,n)-C(n+a-t-,n)); ans=ans%p;
      return;
    }
  dfs(x+,s,t);
  dfs(x+,-s,t+m[x]+);
}
int main()
{
  n=rd(); a=rd(); b=rd(); fac=;
  for(int i=;i<=n;i++)m[i]=rd(),fac*=i;
  p=(ll)fac*mod;
  dfs(,,);
  /*
  for(int y=0;y<=b;y++)
    {
      ll tmp=upt(C(n+b-y,n)-C(n+a-y-1,n));
      ans=(ans+tmp*f[y])%p;
    }
  */
  if(ans<)ans+=p;
  printf("%lld\n",ans/fac);
  return ;
}