AGC 26 D Histogram Coloring

题目

将柱子的高度离散化$\DeclareMathOperator{\dp}{dp}$

设第 $i$ 根柱子实际高度是 $h_i$，离散化之后的高度是 $g_i$；第 $i$ 高的高度是 $H_i$，第 $i$ 段的长度为 $c_i$，即 $c_0 = H_0,c_i = H_i - H_{i-1} \quad i \ge 1$

设有三根柱子，高度分别为 $1, 4, 3$，则 $h = [1, 4, 3]$，$g = [0, 2, 1]$，$ H = [1, 3, 4]$，$c = [1, 2, 1]$ 。

$\dp[i][j]$ 表示第 $i$ 根柱子上「上下相邻的两块同色」最早出现在第 $j$ 段的方案数。

第 $i$ 根柱子上未出现相邻两块同色的情况用状态 $\dp[i][g_i+1]$ 表示

转移方程

$\dp[i][j]$

1. $g_{i-1} \ge j$：$\dp[i][j] = \dp[i-1][j] \times 2^{\max(0, h_i - h_{i-1})}$
2. $g_{i-1} < j$：$\dp[i][j] = \dp[i-1][g_{i-1} + 1] \times 2 \times (2^{c_j} -1) \times 2^{h_{i} - H_{j}}$

边界条件

$\dp[0][0] = (2^{c_0} - 2) \times 2^{h_0 - H_0}$

$\dp[0][j] = 2 \times (2^{c_j} - 1) \times 2^{h_0 - H_j} \quad 1 \le j \le g_0$

$\dp[0][g_0 + 1] = 2$

$\dp[i][g_i + 1]$

1. $g_{i-1} \le g_i$：$\dp[i][g_i+1] = 2 \times \dp[i-1][g_{i-1} + 1]$
2. $g_{i-1} > g_i$：$\dp[i][g_i + 1] = 2 \times \sum_{ g_i < j \le g_{i-1} + 1} \dp[i-1][j]$