一种特殊的枚举算法

什么是倍增

顾名思义,即每一次翻倍增加。那么,这样我们就有了一种$O(logn)$阶的方法处理枚举方面的问题了。

参考:【白话系列】倍增算法

一些题目

【倍增】luoguP1613 跑路

题目描述

小A的工作不仅繁琐,更有苛刻的规定,要求小A每天早上在6:00之前到达公司,否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资,小A买了一个十分牛B的空间跑路器,每秒钟可以跑2^k千米(k是任意自然数)。当然,这个机器是用longint存的,所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图,小A家为点1,公司为点n,每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚,所以让你帮他算算,他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

数据范围

50%的数据满足最优解路径长度<=1000;

100%的数据满足n<=50,m<=10000,最优解路径长度<=maxlongint。


题目分析

首先,显然这题是不能求最短路的跑路次数的。那么我们用bool类型的$f[i][j][t]$表示$i$到$j$存在长度为$2^t$的路径。

这样做可以使得$dis[i][j]$表示的是从$i$到$j$的最短跑路次数,因而最后用floyd求解最短路就好了。

参考:题解 P1613 【跑路】

 #include<bits/stdc++.h>
const int maxn = ; bool f[maxn][maxn][];
int dis[maxn][maxn];
int n,m; int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(dis, 0x3f3f3f3f, sizeof dis);
for (int i=; i<=m; i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
f[x][y][] = ;
dis[x][y] = ;
}
for (int t=; t<=; t++)
for (int k=; k<=n; k++)
for (int i=; i<=n; i++)
for (int j=; j<=n; j++)
if (f[i][k][t-]&&f[k][j][t-]){
f[i][j][t] = ;
dis[i][j] = ;
}
for (int k=; k<=n; k++)
for (int i=; i<=n; i++)
for (int j=; j<=n; j++)
if (dis[i][k]+dis[k][j] < dis[i][j])
dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];
printf("%d\n",dis[][n]);
return ;
}

【LCA】luoguP3379 【模板】最近公共祖先(LCA)

题目描述

如题,给定一棵有根多叉树,请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式:

第一行包含三个正整数N、M、S,分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y,表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边(数据保证可以构成树)。

接下来M行每行包含两个正整数a、b,表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式:

输出包含M行,每行包含一个正整数,依次为每一个询问的结果。

说明

时空限制:1000ms,128M

数据规模:

对于30%的数据:N<=10,M<=10

对于70%的数据:N<=10000,M<=10000

对于100%的数据:N<=500000,M<=500000


题目分析

呃这是一个裸的LCA题,那么就讲讲模拟法和倍增法吧(RMQ暂且不提)

模拟法

为了查询LCA(x,y),我们从x开始一直向上染色。再从y开始一直向上查询,最先查询到的染色过的点就是LCA(x,y)。

有一个技巧,把染色的vis开成int数组,这样每一次就不用memset了(很慢的)

 #include<bits/stdc++.h>
const int maxn = ; std::vector<int> f[maxn];
int fa[maxn];
int n,m,s;
int vis[maxn]; int read()
{
char ch = getchar();
int num = ;
for (; !isdigit(ch); ch = getchar());
for (; isdigit(ch); ch = getchar())
num = (num<<)+(num<<)+ch-;
return num;
}
void buildStructure(int now)
{
for (unsigned int i=; i<f[now].size(); i++)
if (!fa[f[now][i]])
{
fa[f[now][i]] = now;
buildStructure(f[now][i]);
}
}
int main()
{
n = read(), m = read(), s = read();
for (int i=; i<n; i++)
{
int x = read(), y = read();
f[x].push_back(y), f[y].push_back(x);
}
fa[s] = s;
buildStructure(s);
fa[s] = ;
for (int i=; i<=m; i++)
{
int x = read(), y = read();
for (; x; x = fa[x]) vis[x] = i;
for (; y; y = fa[y])
if (vis[y] == i)
break;
printf("%d\n",y);
}
return ;
}

当然以上做法是过不了这题的

倍增法

倍增的话,算是一种对于模拟法的优化吧。

我们每一次不止跳一步,而是以$2^i$步数向上跳。

那么就需要O(nlogn)预处理一些东西,查询则是O(logn)的。

参考:

1.【白话系列】最近公共祖先

2.LCA(离线Tarjan算法,在线倍增法)详解

3.LCA详解

4.题解 P3379 【【模板】最近公共祖先(LCA)】

 #include<bits/stdc++.h>
const int maxn = ;
const int logMaxn = ; int n,m,s;
int deep[maxn],p[maxn][logMaxn];
std::vector<int> f[maxn]; inline int read()
{
char ch = getchar();
int num = ;
for (; !isdigit(ch); ch = getchar());
for (; isdigit(ch); ch = getchar())
num = (num<<)+(num<<)+ch-;
return num;
}
void dfs(int now, int fa)          //递归预处理
{
deep[now] = deep[fa]+;
p[now][] = fa;
for (int i=; (<<i)<=deep[now]; i++)
p[now][i] = p[p[now][i-]][i-];
for (unsigned int i=; i<f[now].size(); i++)
if (f[now][i]!=fa)
dfs(f[now][i], now);
}
int lca(int x, int y)            //倍增LCA
{
if (deep[x] > deep[y]) std::swap(x, y);
for (int i=logMaxn-; i>=; i--)
if (deep[x]<=deep[y]-(<<i))
y = p[y][i];
if (x==y) return x;
for (int i=logMaxn-; i>=; i--)
if (p[x][i]==p[y][i])
continue;
else x = p[x][i], y = p[y][i];
return p[x][];
}
int main()
{
n = read(), m = read(), s = read();
register int i,x,y;
for (i=; i<n; i++)
{
x = read(), y = read();
f[x].push_back(y), f[y].push_back(x);
}
dfs(s, );
for (i=; i<=m; i++)
{
x = read(), y = read();
printf("%d\n",lca(x, y));
}
return ;
}

【LCA】luoguP3398 仓鼠找sugar

题目描述

小仓鼠的和他的基(mei)友(zi)sugar住在地下洞穴中,每个节点的编号为1~n。地下洞穴是一个树形结构。这一天小仓鼠打算从从他的卧室(a)到餐厅(b),而他的基友同时要从他的卧室(c)到图书馆(d)。他们都会走最短路径。现在小仓鼠希望知道,有没有可能在某个地方,可以碰到他的基友?

小仓鼠那么弱,还要天天被zzq大爷虐,请你快来救救他吧!

输入输出格式

输入格式:

第一行两个正整数n和q,表示这棵树节点的个数和询问的个数。

接下来n-1行,每行两个正整数u和v,表示节点u到节点v之间有一条边。

接下来q行,每行四个正整数a、b、c和d,表示节点编号,也就是一次询问,其意义如上。

输出格式:

对于每个询问,如果有公共点,输出大写字母“Y”;否则输出“N”。

说明

__本题时限1s,内存限制128M,因新评测机速度较为接近NOIP评测机速度,请注意常数问题带来的影响。__

20%的数据 n<=200,q<=200

40%的数据 n<=2000,q<=2000

70%的数据 n<=50000,q<=50000

100%的数据 n<=100000,q<=100000


题目分析

题目大意就是判断树上(a,b)与(c,d)两条路径之间有没有交点。

看上去很唬人的样子对吧……

【待更】其实我也觉得很唬人

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