[斯坦福大学2014机器学习教程笔记]第六章-代价函数(Cost function)

在这节中主要讲的是如何更好地拟合逻辑回归模型的参数θ.具体来说，要定义用来拟合参数的优化目标或者叫代价函数，这便是监督学习问题中的逻辑回归模型的拟合问题。

我们有一个训练集，训练集中有m个训练样本：{(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾),(x⁽²⁾,y⁽²⁾),...,(x^(m),y^(m))},像之前一样，每个样本用n+1维特征向量表示，如下：

    和以前一样x₀=1，第0个特征一直是1.而且因为这是一个分类问题的训练集，所以所有的标签y不是0就是1.假设函数如下所示，它的参数是θ.

    下面要讲的问题是，对于这个函数如何选定合适的参数θ.

    回归一下之前讲线性回归模型的时候，使用了如下的代价函数。

    下面将对这个函数换一种写法：

    那么此时代价函数等于1/m * 这个Cost项在训练集范围上的求和。可以除去上标来对该公式简化。它是在输出的预测值是h(x)，但实际值是y的时候我们的学习算法付出的代价。去掉上标之后，这个代价值就是 1/2 * 预测值与实际值差的平方。这个代价函数在线性回归里面是十分好用的，但是我们现在要用在逻辑回归里。如果我们要最小化代价函数J，它也能工作。但是如果我们这样做的话它就会变成参数θ的非凸函数。

    当我们把代入J(θ)中，因为h_θ(x)是一个很复杂的非线性函数，我们很有可能得到的函数图像如下，它有很多局部最优值。

    如果我们对非凸函数用梯度下降法，并不能保证可以收敛到全局最小值。我们更希望得到的是一个凸函数，这样对它使用梯度下降法的话就可以收敛到该函数的全局最小值。所以，我们重新定义这个算法要付出的代价。

    这看起来是一个很复杂的函数，我们画出这个函数。图像如下：

    这个函数的性质有：

        如果y=1而且h_θ(x)=1,那么代价值就为0.但是如果y=1但是预测值h_θ(x)=0的时候，此时代价值趋于∞.

    上面为y=1的情况。下面来看y=0的情况。

    当实际值y=0时，预测值h_θ(x)=0的情况下付出的代价值就为0，预测值h_θ(x)=1的情况下付出的代价值趋于∞.以上讲的主要是单训练样本的代价函数。下面将将其推广得到整个训练样本的代价函数，接着对其运用梯度下降法。

    python代码：

1 import numpy as np
2 def cost(theta, X, y):
3   theta = np.matrix(theta)
4   X = np.matrix(X)
5   y = np.matrix(y)
6   first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X* theta.T)))
7   second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X* theta.T)))
8   return np.sum(first - second) / (len(X))