AtCoder Beginner Contest 179

比赛链接：https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks

A - Plural Form

题意

给出一个由小写字母组成的单词，如果单词以 $s$ 结尾，在单词的末尾加上 $es$，否则在单词的末尾加上 $s$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    string s;
    cin >> s;
    cout << s + (s.back() == 's' ? "es" : "s") << "\n";
    return 0;
}

B - Go to Jail

题意

给出一对骰子投掷 $n$ 次的结果，问是否有连续三次两个骰子的点数相同。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> x(n), y(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> x[i] >> y[i];
    for (int i = 0; i + 2 < n; i++) {
        if (x[i] == y[i] and x[i + 1] == y[i + 1] and x[i + 2] == y[i + 2]) {
            cout << "Yes" << "\n";
            return 0;
        }
    }
    cout << "No" << "\n";
    return 0;
}

C - A x B + C

题意

给出一个正整数 $n$，问有多少不同的三元组 $(a, b, c)$ 满足 $a,b,c > 0$ 且 $a \times b + c = n$ 。

题解

枚举 $a$ 的值，与之对应的 $b$ 的最大值为 $\lfloor \frac{n}{a} \rfloor$，然后判断是否都能取到即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    long long ans = 0;
    for (int a = 1; a <= n; a++) {
        ans += n / a - (n % a == 0);
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

D - Leaping Tak

题意

给出 $k$ 个区间，区间并集中的整数为每次可以选择行走的距离，问在数轴上从点 $1$ 走到点 $n$ 的路径数目。

题解

与上一场的D题类似，可以考虑如下代码：

dp[1] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < k; j++) {
        for (int k = l[j]; k <= r[j]; k++) {
            (dp[i + k] += dp[i]) %= MOD;
        }
    }
}

但是 $O_{(n^2k)}$ 的复杂度明显会超时。

注意到第三层循环为区间操作，所以可以考虑用差分或线段树降低复杂度。

代码一

差分，时间复杂度为 $O_{(nk)}$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int MOD = 998244353;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> l(k), r(k);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        cin >> l[i] >> r[i];
    vector<long long> dp(2 * n + 100);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] += dp[i - 1];
        dp[i] = (dp[i] % MOD + MOD) % MOD;
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            dp[i + l[j]] += dp[i];
            dp[i + r[j] + 1] -= dp[i];
        }
    }
    cout << dp[n] << "\n";
    return 0;
}

代码二

线段树，时间复杂度为 $O_{(nlog_nk)}$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define lson i << 1
#define rson i << 1 | 1
#define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
constexpr int N = 2e5 + 100;
constexpr int MOD = 998244353;
long long sum[N << 2], lazy[N << 2];
void build(int i, int l, int r) {
    if (l == r) {
        sum[i] = 0;
        return;
    }
    build(lson, l, mid);
    build(rson, mid + 1, r);
    sum[i] = sum[lson] + sum[rson];
}
void push_down_lazy(int i, int l, int r) {
    if (lazy[i] != 0) {
        (sum[lson] += lazy[i] * (mid - l + 1)) %= MOD;
        (sum[rson] += lazy[i] * (r - mid)) %= MOD;
        (lazy[lson] += lazy[i]) %= MOD;
        (lazy[rson] += lazy[i]) %= MOD;
        lazy[i] = 0;
    }
}
void update(int i, int l, int r, int L, int R, int val) {
    if (L <= l and r <= R) {
        (sum[i] += 1LL * val * (r - l + 1) % MOD) %= MOD;
        (lazy[i] += val) %= MOD;
        return;
    }
    push_down_lazy(i, l, r);
    if (L <= mid) update(lson, l, mid, L, R, val);
    if (R > mid) update(rson, mid + 1, r, L, R, val);
    sum[i] = (sum[lson] + sum[rson]) % MOD;
}
long long query(int i, int l, int r, int L, int R) {
    if (L <= l and r <= R) {
        return sum[i];
    }
    push_down_lazy(i, l, r);
    long long res = 0;
    if (L <= mid) res += query(lson, l, mid, L, R);
    if (R > mid) res += query(rson, mid + 1, r, L, R);
    return res % MOD;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> l(k), r(k);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        cin >> l[i] >> r[i];
    build(1, 1, n);
    update(1, 1, n, 1, 1, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            if (i + l[j] <= n) {
                update(1, 1, n, i + l[j], min(n, i + r[j]), query(1, 1, n, i, i));
            }
        }
    }
    cout << query(1, 1, n, n, n) << "\n";
    return 0;
}

E - Sequence Sum

题意

$a_1 = x,\ a_{n+1} = a_n^2\ %\ m$，计算 $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i}$ 。

题解

找出循环节的起点和终点即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    long long n, x, m;
    cin >> n >> x >> m;
    const int N = min(n + 1, m + 2);
    vector<int> a(N);
    vector<int> vis(m);
    a[1] = x;
    vis[x] = 1;
    long long ans = 0;
    for (int i = 2; i < N; i++) {
        a[i] = a[i - 1] * a[i - 1] % m;
        if (vis[a[i]]) {
            long long sum1 = accumulate(a.begin(), a.begin() + vis[a[i]], 0LL);
            vector<int> cycle;
            for (int j = vis[a[i]]; j < i; j++) {
                cycle.push_back(a[j]);
            }
            n -= vis[a[i]] - 1;
            long long sum2 = accumulate(cycle.begin(), cycle.end(), 0LL);
            long long sum3 = accumulate(cycle.begin(), cycle.begin() + n % cycle.size(), 0LL);
            cout << sum1 + sum2 * (n / cycle.size()) + sum3 << "\n";
            return 0;
        } else {
            vis[a[i]] = i;
        }
    }
    ans = accumulate(a.begin(), a.end(), 0LL);
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

F - Simplified Reversi

题意

有一个 $n \times n$ 的棋盘，棋盘中间 $(n-2) \times (n-2)$ 的方阵中为黑子，棋盘的最右列和最下行为白子。

接下来有 $q$ 次操作：

• $(1, x)$：在棋盘的第一行的 $x$ 列放置一枚白子，白字与该列最近的白子之间均变为白子
• $(2, x)$：在棋盘的第一列的 $x$ 行放置一枚白子，白字与该行最近的白子之间均变为白子

问 $q$ 操作之后还有多少个黑子。

题解

更新最左列和最上行的同时存储移动过程中黑子个数固定的列和行。（也可以直接用二维线段树但我不会）

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    long long ans = 1LL * (n - 2) * (n - 2);
    vector<int> row(n + 1), col(n + 1);
    int pos_row = n, pos_col = n;
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        int op, pos;
        cin >> op >> pos;
        if (op == 1) {
            if (pos < pos_col) {
                ans -= pos_row - 2;
                while (pos_col > pos) col[pos_col--] = pos_row - 2;
            } else {
                ans -= col[pos];
            }
        } else {
            if (pos < pos_row) {
                ans -= pos_col - 2;
                while (pos_row > pos) row[pos_row--] = pos_col - 2;
            } else {
                ans -= row[pos];
            }
        }
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}