题解-[CEOI2017]Building Bridges

[CEOI2017]Building Bridges

有 \(n\) 个桥墩，高 \(h_i\) 重 \(w_i\)。连接 \(i\) 和 \(j\) 消耗代价 \((h_i-h_j)^2\)，用不到的桥墩被拆除，代价为 \(w_i\)。求使 \(1\) 与 \(n\) 联通的最小代价。

数据范围：\(2\le n\le 10^5\)，\(0\le h_i,|w_i|\le 10^6\)。

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非常经典的李超线段树维护 \(\texttt{dp}\) 的题目，小蒟蒻来分享一下。

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很明显 \(w_i\) 是大片大片消耗的，所以记 \(s_i=\sum_{j=1}^i w_j\)。

令 \(f_i\) 表示连接到第 \(i\) 个桥墩的最小代价。可以野蛮推式：

\[\begin{split}
f_i=&\min\{f_j+(h_i-h_j)^2+s_{i-1}-s_j\}\\
=&\min\{f_j+h_i^2-2h_ih_j+h_j^2+s_{i-1}-s_j\}\\
=&h_i^2+s_{i-1}+\min\{f_j-2h_ih_j+h_j^2-s_j\}\\
\end{split}\\
\]

这貌似是个斜率优化式子，但蒟蒻不管，用李超线段树怎么做呢？

考虑李超线段树的作用：多条线段（直线），求单点最值。

发现这个 \(j\) 有很多，而 \(i\) 就只有当前一个：所以可以 \(i\) 对应单点，\(j\) 对应线。换句话说，可以把每个 \(f_i\) 求出来后添加一条直线。

\[\textrm{let line } g(x)=(-2h_j)x+(f_j+h_j^2-s_j)\\
\textrm{let } x=h_i \textrm{ to get }\min\{f_j-2h_ih_j+h_j^2-s_j\}\textrm{.}\\
\]

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这题有几个坑，本来是应该由你来快乐地调试的，但是既然写了题解，蒟蒻就放出来了：

1. 因为要计算 \(h_j^2\)，所以要开 \(\texttt{long long}\) 或用 \(1ll\) 乘之。
2. 这个李超线段树是权值线段树，下标要开 \(10^6\) 个，节点个数要开 \(4\cdot 10^6\) 个。

这个做法貌似有点辜负了这题的难度，但是蒟蒻只会这么做。蒟蒻讲不清楚，还是放个蒻蒻的代码吧：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
#define lng long long
#define db double
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rz resize
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=1e5,M=1e6;
int n,h[N+7];
lng w[N+7],f[N+7];

//Lichaotree
typedef pair<lng,lng> line;
lng g(line&li,int x){return li.fi*x+li.se;}
int inter(line&la,line&lb){return db(lb.se-la.se)/(la.fi-lb.fi);}
line v[(M<<2)+7];
void add(line li,int k=1,int l=0,int r=M){
	int mid((l+r)>>1);
	lng ly1=g(li,l),ry1=g(li,r),ly=g(v[k],l),ry=g(v[k],r);
	if(ly1>=ly&&ry1>=ry);
	else if(ly1<=ly&&ry1<=ry) v[k]=li;
	else {
		int in=inter(li,v[k]);
		if(ly1<=ly){
			if(in<=mid) add(li,k<<1,l,mid);
			else add(v[k],k<<1|1,mid+1,r),v[k]=li;
		} else {
			if(in>mid) add(li,k<<1|1,mid+1,r);
			else add(v[k],k<<1,l,mid),v[k]=li;
		}
	}
}
lng get(int x,int k=1,int l=0,int r=M){
	lng res(g(v[k],x));
	if(l==r) return res;
	int mid((l+r)>>1);
	if(mid>=x) res=min(res,get(x,k<<1,l,mid));
	else res=min(res,get(x,k<<1|1,mid+1,r));
	return res;
}

//Main
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&w[i]),w[i]+=w[i-1];
	fill(v+1,v+(M<<2)+1,mk(0,INF));
	f[1]=0,add(mk(-2ll*h[1],1ll*h[1]*h[1]-w[1]));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[i]=1ll*h[i]*h[i]+w[i-1]+get(h[i]);
		add(mk(-2ll*h[i],f[i]+1ll*h[i]*h[i]-w[i]));
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！