洛谷P1072 Hankson 的趣味题（题解）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1072（题目传送）

数学的推理在编程的体现越来越明显了。（本人嘀咕）

首先，我们知道这两个等式： (a0,x)=a1,[b0,x]=b1(a0,x)=a1,[b0,x]=b1

于是，我们可以设： x=a1*p,b1=x*tx=a1∗p,b1=x∗t

于是有： a1*p*t=b1a1∗p∗t=b1

所以我们令： b1/a1=sb1/a1=s

则： p*t=sp∗t=s

即： t=s/pt=s/p

又由最大公约数与最小公倍数的定义与性质可得：

(a0/a1,p)=1,(b1/b0,t)=1(a0/a1,p)=1,(b1/b0,t)=1

所以我们令： a0/a1=m,b1/b0=na0/a1=m,b1/b0=n

则有： (p,m)=1,(s/p,n)=1(p,m)=1,(s/p,n)=1

这就是第一个结论，我们称其为结论一。事实上，我们其实已经可以由结论一整理出可以AC的方法，即用sqrt(s)的复杂度枚举s的因数，然后将每个因数放到结论一中，看看是否成立，再统计所有符合结论一的因数的个数，然后输出即可。这种算法的复杂度是：O(sqrt(s)*log(s)*n)。这样其实也能卡过数据，但是还是没有达到理论上的通过。所以我们还要继续优化。

我们考虑(s/p,n)=1。如果s/p与n有相同质因数，则无法使(s/p,n)=1成立。于是，为了使(s/p,n)=1成立，我们可以将s与n所有相同的质因数从s中去掉（不动s/p的原因是s/p是s的因变量，改变无意义），得到剩余的数l，若(s/p,n)=1成立，s/p就必须是l的约数。

我们继续考虑(p,m)=1。因为s/p是l的约数，那么p就一定可以表示为这样的形式：

p=(s/l)*r（因为s/p*r=p,r属于N^*）

即：p一定是s/l的倍数（因为s/p是l的约数），r也是l的约数。于是就又有：

r|l,且(r,m)=1

这就是第二个结论，我们称其为结论二。而解决结论二的方法便很明显了。我们可以用与解决结论一相似的方法，将l与m所有相同的质因数从l中去掉，得到剩余的数q。那么所有使结论二成立的r都是q的因数了。然后，我们可以用sqrt(q)的复杂度枚举q的所有因数，输出q的因数个数就行了。这样，复杂度便降到了：O((sqrt(s)+log(s))*n)，从理论来说也不会超时了。

还有一点需要注意，那就是特判没有符合要求的x的情况。这种情况出现只有四种可能：

1、s不为整数

2、m不为整数

3、n不为整数

4、(s/l,m)≠1，即因为p是s/l的倍数，所以无论r取何值，都会有(p,m)≠1

加上这四个特判，这道题便做完了。（来个总结公式：结论成立=筛去必要条件的不足+必要条件，这也算是一种思路吧）

AC代码：

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<string>
 using namespace std;
 int ssqrt;
 int cf(int a,int b)//去掉a中与b共有的质因数。思想：将b质因数分解，同时将a中与b共有的质因数去掉。
 {
     ssqrt=sqrt(b);
     for(int i=;i<=ssqrt;i++)//sqrt(b)复杂度质因数分解b
     {
         if(b%i==)while(a%i==)a/=i;//去掉a中与b共有的质因数，将a分解
         while(b%i==)b/=i;//将b质因数分解
     }
     if(b!=)while(a%b==)a/=b;//注意：此时b可能还不是1，因为b可能有比sqrt(b)更大的质因数，但至多只有一个，且它的次幂至多是1。所以如果b不是1，那就只能是一个质数。于是此时继续分解a。
     return a;//返回剩下的a
 }
 int gcd(int a,int b){return b==?a:gcd(b,a%b);}//辗转相除求最大公约数
 int main()
 {
     int a0,a1,b0,b1;
     int gs;
     int m,n,s,l,q;
     scanf("%d",&gs);
     int cnt;
     while(gs--)
     {
         scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
         if(a0%a1|b1%b0|b1%a1){printf("0\n");continue;}//如果m、n、s中有小数，则直接输出0。这里的代码用到了一些位运算
         m=a0/a1,n=b1/b0,s=b1/a1;l=cf(s,n);//求出m、n、s，然后求出l
         if(gcd(max(s/l,m),min(s/l,m))!=){printf("0\n");continue;}//如果不互质，则直接输出0
         q=cf(l,m);cnt=,ssqrt=sqrt(q);//求出q，开始枚举q的因数，求出q的因数个数
         for(int i=;i<=ssqrt;i++)if(q%i==)cnt+=i==q/i?:;//这里注意，如果i==q/i，则只加1，否则加2
         printf("%d\n",cnt);//输出
     }
     return ;

另附应用结论一的代码（好像更快。。。估计上面代码cf函数拖时间了吧）：

 #include<cstdio>
 using namespace std;
 int gcd(int a,int b) {
     return b==?a:gcd(b,a%b);
 }
 int main() {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--) {
         int a0,a1,b0,b1;
         scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
         int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=;
         for(int x=1;x*x<=b1;x++) //精华
             if(b1%x==){
                 if(x%a1==&&gcd(x/a1,p)==&&gcd(q,b1/x)==) ans++;
                 int y=b1/x;//得到另一个因子
                 if(x==y) continue;
                 if(y%a1==&&gcd(y/a1,p)==&&gcd(q,b1/y)==) ans++;
             }
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

做题在纸上推理推理写写思路，更清晰地解题

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给看到这里的OIer一个小干货吧（虽然很可能知道，但也是试了好久才总结出来的啊）：cmd的窗口默认保存297行，宽80字符，高25字符