[物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件

写出在忽略粘性与热传导性, 即设 $\mu=\mu'=\kappa=0$ 的情况, 在 Euler 坐标系下具守恒律形式的一维反应流动力学方程组. 由此求出在解的强间断线上应满足的 R.H. 条件 (见第二章 $\S 4$), 并证明越过强间断线, 函数 $Z$ 保持连续.

解答:

(1)  具守恒律形式的一维反应流动力学方程组为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(\rho u)+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u^2+p)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}\sex{\rho E+\cfrac{1}{2}\rho u^2} +\cfrac{\p}{\p x}\sez{\sex{\rho E+\cfrac{1}{2}\rho u^2+p}u} &=\rho Fu,\\ \cfrac{\p}{\p t}(\rho Z)+\cfrac{\p}{\p x}(\rho Z u)&=-\bar k(\rho,p,Z)Z. \eea \eeex$$

(2)  在解的强间断线 $x=x(t)$ 上的应满足的 R.H. 条件为 $$\bee\label{4_4_4_eq} \bea \sez{\rho}\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[\rho u],\\ [\rho u]\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[\rho u^2+p],\\ \sez{\rho E+\cfrac{1}{2}\rho u^2}\cfrac{\rd x}{\rd t}&=\sez{\sex{\rho E+\cfrac{1}{2}\rho u^2+p}u},\\ [\rho Z]\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[\rho Z]. \eea \eee$$

(3)  证明 $Z$ 连续. 事实上, 由 $\eqref{4_4_4_eq}_1$ 知 $$\bex m=\rho_0\sex{u_0-\cfrac{\rd x}{\rd t}} =\rho_1\sex{u_1-\cfrac{\rd x}{\rd t}}. \eex$$ 又因为强间断, 而 $m\neq 0$. 再由 $\eqref{4_4_4_eq}_1$, $\eqref{4_4_4_eq}_4$ 知 $$\bex m(Z_1-Z_0)=0\ra Z_1=Z_0.  \eex$$