[剑指offer] 8+9. 跳台阶+变态跳台阶 (递归 时间复杂度)

跳台阶是斐波那契数列的一个典型应用，其思路如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def __init__(self):
        self.value=[0]*50
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        self.value[0]=1
        self.value[1]=2
        for i in range(2,number):
            self.value[i]=self.value[i-1]+self.value[i-2]
        return self.value[number-1]

这里为了避免递归的低效率，采用数组遍历的方式。 时间复杂度依旧为O(n).

仔细观察‘变态跳台阶’，其思路其实和‘跳台阶很类似’，如下：

f(1) = 1    //n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

f(2) = 2        //n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶

n>=3时：

f(3) = f(1) + f(2) + 1   //最后的1表示3阶一次跳3阶的一种方法

...

f(n) = f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1) + 1

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def __init__(self):
        self.value=[0]*50
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number==0:
            return -1
        self.value[0]=1
        self.value[1]=2
        for i in range(2,number):
            m=0
            while m<=i-1:    #注意这里从f(1)+....+f(n-1)的条件
                self.value[i]+=self.value[m]
                m+=1
            self.value[i]+=1   
        return self.value[number-1]

但是上述方法其实还可以简化：

由上我们已经得到：  f(n) = f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1) + 1

设 f(0) = 1,则上述可变为： f(n) = f(0) + f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

同时也有： f(n-1) = f(0) + f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2)  代入上式有： f(n) = 2*f(n-1)

前提 f(0)=1(但是没有0阶台阶的，这只是用来推导，没有实际意义)， f(1)=1， 可以得到：

f(2)=2, f(3)=4, f(4)=8, f(5)=16....

从而得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

| 1       ,(n=0 )

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1),(n>=2)

class Solution:
    def __init__(self):
        self.value=[0]*50
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        if number==0:
            return -1
        self.value[0]=1  #没有0阶台阶
        self.value[1]=1
        for i in range(2,number+1):
            self.value[i]=2*self.value[i-1]
        return self.value[number]