跳台阶是斐波那契数列的一个典型应用,其思路如下:

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def __init__(self):
self.value=[0]*50
def jumpFloor(self, number):
# write code here
self.value[0]=1
self.value[1]=2
for i in range(2,number):
self.value[i]=self.value[i-1]+self.value[i-2]
return self.value[number-1]

这里为了避免递归的低效率,采用数组遍历的方式。 时间复杂度依旧为O(n).

仔细观察‘变态跳台阶’,其思路其实和‘跳台阶很类似’,如下:

f(1) = 1    //n = 1时,只有1种跳法,f(1) = 1

f(2) = 2        //n = 2时,会有两个跳得方式,一次1阶或者2阶

n>=3时:

f(3) = f(1) + f(2) + 1   //最后的1表示3阶一次跳3阶的一种方法

...

f(n) = f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1) + 1

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def __init__(self):
self.value=[0]*50
def jumpFloorII(self, number):
# write code here
if number==0:
return -1
self.value[0]=1
self.value[1]=2
for i in range(2,number):
m=0
while m<=i-1: #注意这里从f(1)+....+f(n-1)的条件
self.value[i]+=self.value[m]
m+=1
self.value[i]+=1  
return self.value[number-1]

但是上述方法其实还可以简化:

由上我们已经得到:  f(n) = f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1) + 1

设 f(0) = 1,则上述可变为: f(n) = f(0) + f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

同时也有: f(n-1) = f(0) + f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2)  代入上式有: f(n) = 2*f(n-1)

前提 f(0)=1(但是没有0阶台阶的,这只是用来推导,没有实际意义), f(1)=1, 可以得到:

f(2)=2, f(3)=4, f(4)=8, f(5)=16....

从而得出最终结论,在n阶台阶,一次有1、2、...n阶的跳的方式时,总得跳法为:

| 1       ,(n=0 )

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1),(n>=2)
class Solution:
def __init__(self):
self.value=[0]*50
def jumpFloor(self, number):
# write code here
if number==0:
return -1
self.value[0]=1 #没有0阶台阶
self.value[1]=1
for i in range(2,number+1):
self.value[i]=2*self.value[i-1]
return self.value[number]

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