（十进制高速幂+矩阵优化）BZOJ 3240 3240: [Noi2013]矩阵游戏

题目链接：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3240

3240: [Noi2013]矩阵游戏

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Description

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用操心她怎样存储)。她生成的这个矩阵满足一个奇妙的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素。则F[i][j]满足以下的递推式:

F[1][1]=1

F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)

F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)

递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

如今婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。因为终于结果可能非常大，你仅仅须要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

Input

一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述

Output

包括一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数

Sample Input

3 4 1 3 2 6

Sample Output

HINT

例子中的矩阵为：

1 4 7 10

26 29 32 35

76 79 82 85

Source

解题思路：

十进制高速幂

须要优化常数，能够把矩阵优化到仅仅保存两个数。每次矩阵乘法时，仅仅需计算两次乘法即可了。大大加快了速度。

显然最后结果为A^m(BA^mF)^n 当中A(a,b,0,1) B(c,d,0,1) F(1,0,0,1)

保存一个v1,v2. 矩阵乘法时 c.v1=a.v1*b.v1 c.v2=a.v1*b.v2+a.v2 (ta*(1,2)+tb=(ta*1,ta*2+tb))

代码：

//#include<CSpreadSheet.h>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<sstream>

#include<cstdlib>

#include<string>

#include<string.h>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<vector>

#include<map>

#include<set>

#include<stack>

#include<list>

#include<queue>

#include<ctime>

#include<bitset>

#include<cmath>

#define eps 1e-6

#define INF 0x3f3f3f3f

#define PI acos(-1.0)

//#define ll __int64

#define ll long long

#define lson l,m,(rt<<1)

#define rson m+1,r,(rt<<1)|1

#define MM 1000000007

//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

using namespace std;

#define Maxn 1100000

char s1[Maxn],s2[Maxn];

ll a,b,c,d;

void sub(char * cur)

{

    int len=strlen(cur);

    len--;

    if(cur[len]!='0')

    {

        cur[len]=cur[len]-1;

        return ;

    }

    cur[len]='9';

    len--;

    while(len>=0&&cur[len]=='0')

    {

        cur[len]='9';

        len--;

    }

    cur[len]=cur[len]-1;

}

struct Mar

{

    ll v1,v2;

    void init(ll a,ll b)

    {

        v1=a;

        v2=b;

    }

    friend struct Mar operator * (const struct Mar &a,const struct Mar &b)

    {

        Mar c;

        c.v1=(a.v1*b.v1)%MM;

        c.v2=(a.v1*b.v2+a.v2)%MM;

        return c;

    }

};

Mar Pow(Mar aa,ll bb)

{

    Mar c;

    c.init(1,0);

    //c.s[1][1]=1,c.s[2][2]=1;

    while(bb)

    {

        if(bb&1)

            c=aa*c;

        bb>>=1;

        aa=aa*aa;

    }

    return c;

}

Mar T_Pow(Mar aa,char * cur)

{

    Mar res;

    res.init(1,0);

    int i=strlen(cur)-1;

    int j=0;

    while(cur[j]=='0')

        j++;

    while(i>=j)

    {

        res=Pow(aa,cur[i]-'0')*res;

        aa=Pow(aa,10);

        i--;

    }

    return res;

}

int main()

{

   //freopen("in.txt","r",stdin);

   //freopen("out.txt","w",stdout);

   while(~scanf("%s%s",s1,s2))

   {

       scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);

       sub(s1);

       //printf("%s\n",s1);

       sub(s2);

       //printf("%s\n",s2);

      // ll n=cal(s1),m=cal(s2);

       Mar A;

       A.init(a,b);

       //A.s[1][1]=a,A.s[1][2]=b,A.s[2][2]=1;

       Mar B;

       B.init(c,d);

       //B.s[1][1]=c,B.s[1][2]=d,B.s[2][2]=1;

       Mar C=T_Pow(A,s2);

       Mar D=B*C;

       D=T_Pow(D,s1);

       D=C*D;

       printf("%lld\n",(D.v1+D.v2)%MM);

   }

   return 0;

}

解题思路：

能够暴力推出公式.费马小定理不适合于矩阵的次幂，a=c=1时，退化成等差数列。需特判，其余等比数列。这题这样做有问题。矩阵的次幂不能用费马小定理来降次，仅仅是这题有点特殊。

代码：

//#include<CSpreadSheet.h>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<sstream>

#include<cstdlib>

#include<string>

#include<string.h>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<vector>

#include<map>

#include<set>

#include<stack>

#include<list>

#include<queue>

#include<ctime>

#include<bitset>

#include<cmath>

#define eps 1e-6

#define INF 0x3f3f3f3f

#define PI acos(-1.0)

//#define ll __int64

#define ll long long

#define lson l,m,(rt<<1)

#define rson m+1,r,(rt<<1)|1

#define MM 1000000007

//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

using namespace std;

#define Maxn 1100000

char s1[Maxn],s2[Maxn];

ll a,b,c,d,M;

ll cal(char * s)

{

    ll res=0;

    int i=0;

    while(s[i])

    {

        res=(res*10+s[i]-'0')%M;

        i++;

    }

    return (res-1+M)%M;

}

struct Mar

{

    ll s[3][3];

    int row,col;

    void init(int a,int b)

    {

        row=a,col=b;

        memset(s,0,sizeof(s));

    }

};

struct Mar operator * (const struct Mar &a,const struct Mar &b)

{

    Mar c;

    c.init(a.row,b.col);

    for(int k=1;k<=a.col;k++)

    {

        for(int i=1;i<=a.row;i++)

        {

            if(!a.s[i][k])

                continue;

            for(int j=1;j<=b.col;j++)

            {

                if(!b.s[k][j])

                    continue;

                c.s[i][j]=(c.s[i][j]+a.s[i][k]*b.s[k][j])%MM;

            }

        }

    }

    return c;

}

Mar Pow(Mar aa,ll bb)

{

    Mar c;

    c.init(aa.row,aa.col);

    c.s[1][1]=1,c.s[2][2]=1;

    while(bb)

    {

        if(bb&1)

            c=aa*c;

        bb>>=1;

        aa=aa*aa;

    }

    return c;

}

int main()

{

   //freopen("in.txt","r",stdin);

   //freopen("out.txt","w",stdout);

   while(~scanf("%s%s",s1,s2))

   {

       scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);

       if(a==1&&c==1)

            M=MM;

       else

            M=MM-1;

      // M=MM-1;

       ll n=cal(s1),m=cal(s2);

       Mar A;

       A.init(2,2);

       A.s[1][1]=a,A.s[1][2]=b,A.s[2][2]=1;

       Mar B;

       B.init(2,2);

       B.s[1][1]=c,B.s[1][2]=d,B.s[2][2]=1;

       Mar C=Pow(A,m);

       Mar D=B*C;

       D=Pow(D,n);

       D=C*D;

       printf("%lld\n",(D.s[1][1]+D.s[1][2])%MM);

   }

   return 0;

}