洛谷P3779 [SDOI2017]龙与地下城（概率论+Simpson+FFT）

题面

题解

正态分布

正态分布是随机变量$X$的一种概率分布形式。它用一个期望$\mu$和方差$\sigma^2$就可以描述，记为$N(\mu,\sigma^2)$。

若随机变量$X$服从一个数学期望为$\mu$、方差为$\sigma^2$的正态分布，记作$X$∼$N(\mu,\sigma^2)$，读作$X$服从$N(\mu,\sigma^2)$。

当$\mu=0,\sigma=1$时的正态分布称为标准正态分布。

概率密度函数

用来描述连续型随机变量的分布情况。随机变量的取值落在某个区域内的概率，为概率密度函数在该区域的积分。（或者就是$f(x)$在该区域内与$x$轴围成的图形面积）

若随机变量$X$∼$N(\mu,\sigma^2)$，则其概率密度函数为

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}
\]

只要证明了一个变量服从正态分布，就可以直接对概率密度函数的这一区间进行积分了

中心极限定理

当样本量n逐渐趋于无穷大时，n个抽样样本的均值的频数逐渐趋于正态分布（无论总体是什么分布）。

该定理说明，设随机变量$X_1,X_2,…,X_n$独立同分布，它们的期望为$\mu$、方差为$\sigma^2$，当$n$足够大时（满足精确度需求时），随机变量

\[Y_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}
\]

$Y_n$服从正态分布，求出其范围后就可以直接对正态分布的概率密度函数求积分了。

本题

然后关于本题有

\[\mu=\frac{n-1}{2}，\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n(i-\mu)^2}{n}=\frac{n^2-1}{12}\\\sum_{i=1}^nX_i\in[A,B]\\Y_n\in[\frac{A-n\mu}{\sqrt n\sigma},\frac{B-n\mu}{\sqrt n\sigma}]
\]

那么我们对于$Y_n$的值域直接上自适应辛普森法就行了

然而还有一个问题，就是$n$等于$1$之类的情况我们显然不能认为它满足精度限制

那么我们构造出概率的生成函数，$F(z)=\sum_{i=0}^{x-1}{1\over x}z^i$，只要求出$F^y(z)$的第$l$到$r$项系数就行了。而且这里多项式快速幂可以直接把点值给快速幂

听说余奶奶直接用生成函数艹过去了……完全没用到任何概率论的芝士……orz

//minamoto

#include<bits/stdc++.h>

#define R register

#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)

#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)

#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)

using namespace std;

const int N=(1<<19)+5;const double Pi=acos(-1.0),K=1.0/sqrt(2*Pi),eps=1e-7;

int read(){

    R int res,f=1;R char ch;

    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);

    for(res=ch-'0';(ch=getchar())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');

    return res*f;

}

struct cp{

    double x,y;

    cp(){}

    cp(R double xx,R double yy):x(xx),y(yy){}

    inline cp operator +(const cp &b)const{return cp(x+b.x,y+b.y);}

    inline cp operator -(const cp &b)const{return cp(x-b.x,y-b.y);}

    inline cp operator *(const cp &b)const{return cp(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}

    inline cp operator *(const double &b)const{return cp(x*b,y*b);}

}A[N],O[N];

int r[N],lim,l,X,Y,L;double res;

inline cp ksm(R cp x,R int y){

    R cp res(1,0);

    for(;y;y>>=1,x=x*x)if(y&1)res=res*x;

    return res;

}

void FFT(cp *A,int ty){

    fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);

    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)

        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))

            fp(k,0,mid-1){

                R cp x=A[j+k],y=A[j+k+mid]*O[mid+k];

                A[j+k]=x+y,A[j+k+mid]=x-y;

            }

    if(ty==-1){

        reverse(A+1,A+lim);

        R double k=1.0/lim;fp(i,0,lim-1)A[i]=A[i]*k;

    }

}

inline double F(R double x){return K*exp(-x*x*0.5);}

inline double simpson(R double l,R double r){return (F(l)+F(r)+4*F((l+r)/2))*(r-l)/6;}

double calc(double l,double r,double eps,double res){

    double mid=(l+r)/2,ql=simpson(l,mid),qr=simpson(mid,r);

    if(fabs(ql+qr-res)<=15*eps)return ql+qr+(ql+qr-res)/15;

    return calc(l,mid,eps/2,ql)+calc(mid,r,eps/2,qr);

}

void solve1(){

    fp(i,0,lim-1)A[i]=cp(0,0),r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));

    for(R int i=1;i<lim;i<<=1)fp(k,0,i-1)O[i+k]=cp(cos(Pi*k/i),sin(Pi*k/i));

    R double xx=1.0/X;

    fp(i,0,X-1)A[i].x=xx;

    FFT(A,1);

    fp(i,0,lim-1)A[i]=ksm(A[i],Y);

    FFT(A,-1);

    fp(i,1,lim-1)A[i].x+=A[i-1].x;

    for(R int i=1,l,r;i<=10;++i)l=read(),r=read(),printf("%.7lf\n",l?A[r].x-A[l-1].x:A[r].x);

}

void solve2(){

    double l,r,mu=1.0*(X-1)/2,sigma=1.0*(X*X-1)/12,a=mu*Y,b=sqrt(sigma*Y);

    fp(i,1,10){

        l=1.0*(read()-a)/b,r=1.0*(read()-a)/b;

        printf("%.7lf\n",calc(0,r,eps,simpson(0,r))-calc(0,l,eps,simpson(0,l)));

    }

}

int main(){

//	freopen("testdata.in","r",stdin);

    for(int T=read();T;--T){

        X=read(),Y=read(),L=X*Y,lim=1,l=0;

        while(lim<=L)lim<<=1,++l;

        lim<N?solve1():solve2();

    }

    return 0;

}