洛谷P3704 [SDOI2017]数字表格

题目描述

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]f[i] 表示数列的第ii 项，那么

f[0]=0f[0]=0 ,f[1]=1f[1]=1 ,

f[n]=f[n-1]+f[n-2],n\geq 2f[n]=f[n−1]+f[n−2],n≥2

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×mn×m 的表格，

第ii 行第jj 列的格子中的数是f[\gcd(i,j)]f[gcd(i,j)] ，其中\gcd(i,j)gcd(i,j) 表示i,ji,j 的最大公约数。

Doris的表格中共有n×mn×m 个数，她想知道这些数的乘积是多少。

答案对10^9+7109+7 取模。

输入输出格式

输入格式：

有多组测试数据。

第一个一个数TT ，表示数据组数。

接下来TT 行，每行两个数n,mn,m

输出格式：

输出TT 行，第ii 行的数是第ii 组数据的结果

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

对10\%10% 的数据，1\leq n,m\leq 1001≤n,m≤100

对30\%30% 的数据，1\leq n,m\leq 10001≤n,m≤1000

另外存在30\%30% 的数据，T\leq 3T≤3

对100\%100% 的数据，T\leq1000,1\leq n,m\leq 10^6T≤1000,1≤n,m≤106

时间限制：5s

内存限制：128MB

一道明年也做不出来的反演题，。

参考了一下洛谷题解

$$\prod_{d=1}^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mif(gcd(i,j)==d)f[gcd(i,j)]$$

$$\prod_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]}$$

观察上面的$$\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]$$

这是一个经典反演问题，它等价于

$$\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]$$

令$T=id$

$$\prod_{T=1}^{n}\prod_{d|T}f[d]^{[n/T][m/T]\mu(T/d)}$$

$$\prod_{T=1}^{n}(\prod_{d|T}f[d]^{\mu(T/d)})^{[n/T][m/T]}$$

然后对于$[n/T]$和$[m/T]$分块

里面的那一个直接暴力，

不明白为什么最后要%mod-1QWQ...

// luogu-judger-enable-o2

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

const int mod=1e9+;

const int MAXN=1e6;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}

    return x*f;

}

int fastpow(int a,int p)

{

    int base=;

    while(p)

    {

        if(p&) base=1LL*base%mod*a%mod;

        a=1LL*a%mod*a%mod%mod;

        p>>=;

    }

    return base%mod;

}

int mu[MAXN+],sum[MAXN+],fib[MAXN+],nfib[MAXN+],vis[MAXN+],prime[MAXN],tot;

void Pre()

{

    fib[]=;

    for(int i=;i<=MAXN;i++) fib[i]=(fib[i-]%mod+fib[i-]%mod)%mod;

    for(int i=;i<=MAXN;i++)

        nfib[i]=(fastpow(fib[i],mod-)+mod)%mod;

    vis[]=;mu[]=;

    for(int i=;i<=MAXN;i++)

    {

        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-;

        for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=MAXN;j++)

        {

            vis[i*prime[j]]=;

            if(i%prime[j]==) {mu[i*prime[j]]=;break;}

            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];

        }

    }

    fill(sum,sum+MAXN,);

    for(int i=;i<=MAXN;i++)

    {

        if(mu[i]==) continue;

        for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)

        {

            if(mu[i]==-) sum[j]=1ll*sum[j]%mod*nfib[j/i]%mod;

            if(mu[i]==)  sum[j]=1ll*sum[j]%mod*fib[j/i]%mod;

        }

    }

    for(int i=;i<=MAXN;i++) sum[i]=1ll*sum[i-]*sum[i]%mod;

}

int main()

{

    #ifdef WIN32

    freopen("a.in","r",stdin);

    #endif

    Pre();

    int QWQ=read();

    while(QWQ--)

    {

        int N=read(),M=read();

        if(N>M) swap(N,M);

        long long int ans=;

        for(int i=,nxt;i<=N;i=nxt+)

        {

            nxt=min(N/(N/i),M/(M/i));

            long long int pw=1ll*sum[nxt]*fastpow(sum[i-],mod-)%mod;

            ans=(1ll*ans*(fastpow(pw,1ll*(N/i)*(M/i)%(mod-))))%mod;

        }

        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);

    }

    return ;

}