[POJ1845&POJ1061]扩展欧几里得应用两例

扩展欧几里得是用于求解不定方程、线性同余方程和乘法逆元的常用算法。

下面是代码：

 function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
 var t:int64;
 begin
     if b= then
     begin
         x:=;y:=;exit(a);
     end else
     begin
         Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y);
         t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
     end;
 end;

下面出现了其中后两个应用。（虽然个人认为不定方程和同余方程可以互相转换）

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POJ1061 

　　线性同余简单应用。

 program poj1061;
 var x0,y0,m,n,L,a,b,d,x,y,tem,c:int64;

 function f(a:int64):int64;
 begin
     if a< then a:=a+(-a) div L*L;
     while a<= do a:=a+L;
     exit(a);
 end;

 function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
 var t:int64;
 begin
     if b= then
     begin
         x:=;y:=;exit(a);
     end else
     begin
         Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y);
         t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
     end;
 end;

 begin
     readln(x0,y0,m,n,L);
     a:=f(m-n);b:=L;
     d:=Euclid(a,b,x,y);
     c:=f(y0-x0);
     // 由于扩展欧几里得算法里要求最大公约数，所以要处理成正数
     // 根据同余方程的性质，a,b,c加上L对答案不会有影响。
     if c mod d<> then
     begin
         writeln('Impossible');
         // 同余方程有整数解的条件。
         halt;
     end;
     x:=x*c div d;
     if x< then x:=x+(-x) div (b div d)*(b div d);
     while x< do x:=x+(b div d);
     //这里是保证跳的步数为自然数
     if x-(b div d)>= then x:=x-x div (b div d)*(b div d);
     while x-(b div d)>= do x:=x-(b div d);
     //这里是保证跳的步数是最小步数
     writeln(x);
 end.

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POJ1845

　　由于姿势不大对...交了很多遍处理了很多细节才过。

　　因此觉得这道题挺好的...因为本来觉得只是一道求逆元的模板题，但实际上想要A掉它并不容易。

　　首先先讲一下算法部分。

　　求a^b的约数和。

　　= (p1^0+p1^1+...p1^k1)*(p2^0+p2^1...+p2^k2)...*(pn^0+pn^1+...pn*kn) (p为a的质因子，ki为第i个质因子的个数)

　　我们可以用素数拆分，然后对于每一部分，用等比数列求和公式。

　　分子部分可以用取模的快速幂解决。

　　分母部分乘上其逆元。

　　大体的思路已经构建好了。

　　但是细节超级超级多.....>_< 已经被搞疯啦...直接在代码里贴出来好了。

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 program poj1845;
 const tt=;
 var a,b,ans,k:int64;
       i:longint;

 function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
 var t:int64;
 begin
     if b= then
     begin
         x:=;y:=;exit(a);
     end else
     begin
         Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y);
         t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
     end;
 end;

 function mul(a,b:int64):int64;
 var ans,w:int64;
 begin
     ans:=;w:=a mod tt;
     while b> do
     begin
         if b and = then ans:=(ans*w)mod tt;
         w:=(w*w) mod tt;
         b:=b >> ;
     end;
     exit(ans);
 end;

 function inverse(p:int64):int64;
 var x,y:int64;
 begin
     if Euclid(p,tt,x,y)<> then exit(-) else
     begin
         while x<tt do inc(x,tt);
         x:=x mod tt;
         // 我们需要找到一个正的逆元，根据x= x0+b/d*t可以得到，d=,b=tt。所以只要不停加上tt即可。
         // 虽然刚开始的直觉就是不停加上tt直到找到一个正的为止...但是实际上是有理论依据的。
         exit(x);
     end;
 end;

 begin
     while not eof do
     // 由于被多组数据坑过...所以不管怎样还是加上为好
     begin
         readln(a,b);
         if a= then
         begin
             writeln();
             // 这是一个细节需要特判
             continue;
         end;
         ans:=;
         for i:= to trunc(sqrt(a)) do if a mod i= then
         begin
             k:=;
             while a mod i= do
             begin
                 inc(k);a:=a div i;
             end;
             k:=k*b;
             ans:=((ans*((mul(i,k+)+tt-) mod tt)) mod tt*inverse(i-))mod tt;
             // 本来这里的inverse(i-）也需要处理i mod tt=的情况，但是由于数据范围i的上限正好是7000多不用考虑。
     end;
     // 刚开始下面的一块都忘了QAQ
         if a<> then
         begin
             if a mod tt= then
             begin
                 ans:=ans*(b+) mod tt;
             // 这是最容易忽略的一个细节。当a mod tt=的时候，inverse(i)是算不出来的，这个时候思考一下便发现，a mod tt=
             // a^k mod tt=，所以最后mod tt余数就是b+.
             // 刚开始由于直接输出了（b+） WA了一次...后来发现剩下的a不一定是a本身。
         end else
             begin
                 i:=a;k:=b;
                 ans:=((ans*((mul(i,k+)+tt-) mod tt)) mod tt*inverse(i-)) mod tt;
             end;
         end;
         writeln(ans);
     end;
 end.