[POJ1845&POJ1061]扩展欧几里得应用两例
扩展欧几里得是用于求解不定方程、线性同余方程和乘法逆元的常用算法。
下面是代码:
function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
var t:int64;
begin
if b= then
begin
x:=;y:=;exit(a);
end else
begin
Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y);
t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
end;
end;
下面出现了其中后两个应用。(虽然个人认为不定方程和同余方程可以互相转换)
POJ1061
线性同余简单应用。
program poj1061;
var x0,y0,m,n,L,a,b,d,x,y,tem,c:int64; function f(a:int64):int64;
begin
if a< then a:=a+(-a) div L*L;
while a<= do a:=a+L;
exit(a);
end; function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
var t:int64;
begin
if b= then
begin
x:=;y:=;exit(a);
end else
begin
Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y);
t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
end;
end; begin
readln(x0,y0,m,n,L);
a:=f(m-n);b:=L;
d:=Euclid(a,b,x,y);
c:=f(y0-x0);
// 由于扩展欧几里得算法里要求最大公约数,所以要处理成正数
// 根据同余方程的性质,a,b,c加上L对答案不会有影响。
if c mod d<> then
begin
writeln('Impossible');
// 同余方程有整数解的条件。
halt;
end;
x:=x*c div d;
if x< then x:=x+(-x) div (b div d)*(b div d);
while x< do x:=x+(b div d);
//这里是保证跳的步数为自然数
if x-(b div d)>= then x:=x-x div (b div d)*(b div d);
while x-(b div d)>= do x:=x-(b div d);
//这里是保证跳的步数是最小步数
writeln(x);
end.
POJ1845
由于姿势不大对...交了很多遍处理了很多细节才过。
因此觉得这道题挺好的...因为本来觉得只是一道求逆元的模板题,但实际上想要A掉它并不容易。
首先先讲一下算法部分。
求a^b的约数和。
= (p1^0+p1^1+...p1^k1)*(p2^0+p2^1...+p2^k2)...*(pn^0+pn^1+...pn*kn) (p为a的质因子,ki为第i个质因子的个数)
我们可以用素数拆分,然后对于每一部分,用等比数列求和公式。
分子部分可以用取模的快速幂解决。
分母部分乘上其逆元。
大体的思路已经构建好了。
但是细节超级超级多.....>_< 已经被搞疯啦...直接在代码里贴出来好了。
program poj1845;
const tt=;
var a,b,ans,k:int64;
i:longint; function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
var t:int64;
begin
if b= then
begin
x:=;y:=;exit(a);
end else
begin
Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y);
t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
end;
end; function mul(a,b:int64):int64;
var ans,w:int64;
begin
ans:=;w:=a mod tt;
while b> do
begin
if b and = then ans:=(ans*w)mod tt;
w:=(w*w) mod tt;
b:=b >> ;
end;
exit(ans);
end; function inverse(p:int64):int64;
var x,y:int64;
begin
if Euclid(p,tt,x,y)<> then exit(-) else
begin
while x<tt do inc(x,tt);
x:=x mod tt;
// 我们需要找到一个正的逆元,根据x= x0+b/d*t可以得到,d=,b=tt。所以只要不停加上tt即可。
// 虽然刚开始的直觉就是不停加上tt直到找到一个正的为止...但是实际上是有理论依据的。
exit(x);
end;
end; begin
while not eof do
// 由于被多组数据坑过...所以不管怎样还是加上为好
begin
readln(a,b);
if a= then
begin
writeln();
// 这是一个细节需要特判
continue;
end;
ans:=;
for i:= to trunc(sqrt(a)) do if a mod i= then
begin
k:=;
while a mod i= do
begin
inc(k);a:=a div i;
end;
k:=k*b;
ans:=((ans*((mul(i,k+)+tt-) mod tt)) mod tt*inverse(i-))mod tt;
// 本来这里的inverse(i-)也需要处理i mod tt=的情况,但是由于数据范围i的上限正好是7000多不用考虑。
end;
// 刚开始下面的一块都忘了QAQ
if a<> then
begin
if a mod tt= then
begin
ans:=ans*(b+) mod tt;
// 这是最容易忽略的一个细节。当a mod tt=的时候,inverse(i)是算不出来的,这个时候思考一下便发现,a mod tt=
// a^k mod tt=,所以最后mod tt余数就是b+.
// 刚开始由于直接输出了(b+) WA了一次...后来发现剩下的a不一定是a本身。
end else
begin
i:=a;k:=b;
ans:=((ans*((mul(i,k+)+tt-) mod tt)) mod tt*inverse(i-)) mod tt;
end;
end;
writeln(ans);
end;
end.
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