洛谷 P4280 bzoj1786 [AHOI2008]逆序对(dp)

题面

luogu

bzoj

题目大意:

• 给你一个长度为\(n\)的序列,元素都在\(1-k\)之间,有些是\(-1\),让你把\(-1\)也变成\(1-k\)之间的数,使得逆序对最多,求逆序对最少是多少

• \(n<=10000,k<=100\)

题解

结论:

填的数是不下降的

证明:

假设相邻的两个-1的位置是(x,y)(a[x]<=a[y]);
如果交换x,y;
对1-x和y-n中的数显然没有影响.
对x-y中大于max(a[x],a[y])和小于min(a[x],a[y])的数显然也没有影响.
但是对x-y中a[x]-a[y]的数,逆序对数显然增加了.
所以交换x,y只会导致逆序对数不降.
所以-1位置的数一定是单调不降的.

\(l[i][j]\)表示前\(i\)个数有多少大于\(j\)的数

\(r[i][j]\)表示后\(i\)个数有多少小于\(j\)的数

我们把-1位置弄出来\(dp\)

\(f[i][j]\)表示第\(i\)位填\(j\),逆序对个数最少是多少

\(b[i]\)表示第i个空在原序列的位置

假设\(i\)位填\(t\)

则

\(f[i][t] = min(f[i-1][z]+l[b[i]][t]+r[b[i]][t])\)

这样复杂度是\(O(n*k^2)\)

• 注意还要加上没填数时的逆序对

可以发现\(f[i-1][z]\) 可以用一个前缀最小来优化

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long
#define RG register

using namespace std;
template<class T> inline void read(T &x) {
	x = 0; RG char c = getchar(); bool f = 0;
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar(); if (c == '-') c = getchar(), f = 1;
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x*10+c-48, c = getchar();
	x = f ? -x : x;
	return ;
}
template<class T> inline void write(T x) {
	if (!x) {putchar(48);return ;}
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	int len = -1, z[20]; while (x > 0) z[++len] = x%10, x /= 10;
	for (RG int i = len; i >= 0; i--) putchar(z[i]+48);return ;
}
const int N= 10010;
int cnt, l[N][110], r[N][110], a[N], b[N];
LL f[N][110], g[N][110];
int main() {
	//freopen(".in", "r", stdin);
	//freopen(".out", "w", stdout);
	int n, k; read(n); read(k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(a[i]);
		if (a[i] == -1) b[++cnt] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			l[i][j] = l[i-1][j];
			if (a[i] > j) l[i][j]++;
		}
	for (int i = n; i >= 1; i--)
		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			r[i][j] = r[i+1][j];
			if (a[i] < j && a[i] != -1) r[i][j]++;
		}
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) g[i][0] = 1ll << 60;
	for (int i = 1; i <= cnt; i++)
		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			f[i][j] = g[i-1][j]+l[b[i]][j]+r[b[i]][j];
			g[i][j] = min(g[i][j-1], f[i][j]);
		}
	LL ans = 1ll << 60;
	for (int i = 1; i <= k; i++) ans = min(ans, f[cnt][i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans += l[i][a[i]];
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}