Loj #2331. 「清华集训 2017」某位歌姬的故事

IA 是一名会唱歌的女孩子。

IOI2018 就要来了，IA 决定给参赛选手们写一首歌，以表达美好的祝愿。这首歌一共有 $n$ 个音符，第 $i$ 个音符的音高为 $h_i$。IA 的音域是 $A$，她只能唱出 $1\sim A$ 中的正整数音高。因此 $1\le h_i\le A$。

在写歌之前，IA 需要确定下这首歌的结构，于是她写下了 $Q$ 条限制，其中第 $i$ 条为：编号在 $l_i$ 到 $r_i$ 之间的音符的最高音高为 $m_i$。在确定了结构之后，她就可以开始写歌了。不过她还是想知道，一共有多少种可能的歌曲满足她的所有限制？她听说你还有 9 个月就要去 IOI 了，于是希望你帮她计算一下这个值。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含一个整数 $T(T\le 20)$，代表测试数据的组数。

每组数据的第一行包含三个正整数 $n,Q,A$。接下来 $Q$ 行，每行三个整数 $l_i,r_i,m_i$，表示一条限制。保证 $1\le l_i\le r_i\le n, 1\le m_i\le A$。

输出格式

输出到标准输出。

输出文件只有一行，表示可能的歌曲数目。这个数可能很大，请将答案模 $998244353$ 输出。

数据范围与提示

$n \leq 9\times 10^8 $ $Q \leq 500 $ $A \leq 9\times 10^8 $

首先我们将坐标离散化。也就是对于所有区间$[l,r]$，我们将$l,l+1,r,r+1$离散。

然后将所有询问按$m_i$排序。我们发现当询问$i$与询问$j$的区间有交，如果$m_i<m_j$，那么交的部分全部分配给$i$。这样，$m$不同的区间就没有交了。

接着考虑做法。因为我们可以很容易算出区间最大值$\leq$某个值的答案，所以考虑容斥。我们设$f_{S}$表示$\{S\}$集合中的询问都不满足的答案。如果要求不满足询问$(l,r,m)$，那么区间$[l,r]$内的元素要$\leq m-1$。最终答案就是：

\[ans=\sum_{S}(-1)^{|S|}f_S
\]

我们发现，如果所有区间的$m$不同，那么很好做，因为即使降低了某些询问的上限，也不会改变相交区间的分配情况。于是对于$m$相同的情况，我们考虑$DP$

我们将$m$相同的询问按左端点排序，设$f_{i,j}$表示满足了$DP$了前$i$个询问，降低了上限的询问中最右端点为$j$的答案。考虑加入第$i$个询问的时候就与$j$判断一下就知道$i$还可以控制的区间有多少了。$DP$的时候还要带着容斥系数$DP$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define Q 505

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;

ll ksm(ll t,ll x) {

	ll ans=1;

	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

		if(x&1) ans=ans*t%mod;

	return ans;

}

int T;

int n,q,A;

vector<int>disc;

int len[Q<<2];

int tot;

struct query {

	int l,r,mx;

	bool operator <(const query &a)const {

		if(mx!=a.mx) return mx<a.mx;

		if(l!=a.l) return l<a.l;

		return r<a.r;

	}

	bool operator ==(const query &a)const {

		return l==a.l&&r==a.r&&mx==a.mx;

	}

}s[Q];

int tag[Q<<2];

int pre[Q<<2];

ll f[Q<<2][Q<<2];

ll DP(int L,int R) {

	pre[0]=0;

	for(int i=1;i<tot;i++)

		pre[i]=pre[i-1]+(tag[i]?0:len[i]);

	ll inv=ksm(s[L].mx,mod-2)*(s[L].mx-1)%mod;

	f[L][0]=1;

	f[L][s[L].r]=(mod-ksm(inv,pre[s[L].r]-pre[s[L].l-1]))%mod;

	for(int i=L+1;i<=R;i++) {

		for(int j=0;j<tot;j++) {

			if(!f[i-1][j]) continue ;

			(f[i][j]+=f[i-1][j])%=mod;

			int New=0;

			if(s[i].r>j) New=pre[s[i].r]-pre[max(j,s[i].l-1)];

			(f[i][max(s[i].r,j)]+=(mod-1)*f[i-1][j]%mod*ksm(inv,New))%=mod;

		}

	}

	ll ans=0;

	for(int i=0;i<tot;i++) (ans+=f[R][i])%=mod;

	return ans;

}

int main() {

	T=Get();

	while(T--) {

		memset(f,0,sizeof(f));

		disc.clear();

		n=Get(),q=Get(),A=Get();

		for(int i=1;i<=q;i++) {

			s[i].l=Get(),s[i].r=Get(),s[i].mx=Get();

			disc.push_back(s[i].l);

			disc.push_back(s[i].r);

		}

		disc.push_back(0);

		disc.push_back(1);

		disc.push_back(n);

		sort(disc.begin(),disc.end());

		for(int i=0,x=disc.size();i<x;i++)

			if(disc[i]+1<=n) disc.push_back(disc[i]+1);

		sort(disc.begin(),disc.end());

		disc.resize(unique(disc.begin(),disc.end())-disc.begin());

		tot=disc.size();

		for(int i=0;i<tot;i++)

			if(i<tot-1) len[i]=disc[i+1]-disc[i];

			else len[i]=1;

		for(int i=1;i<=q;i++) {

			s[i].l=lower_bound(disc.begin(),disc.end(),s[i].l)-disc.begin();

			s[i].r=lower_bound(disc.begin(),disc.end(),s[i].r)-disc.begin();

		}

		sort(s+1,s+1+q);

		q=unique(s+1,s+1+q)-s-1;

		memset(tag,0,sizeof(tag));

		ll ans=1;

		for(int i=1;i<=q;i++) {

			int j=i;

			while(j<q&&s[j+1].mx==s[i].mx) j++;

			ll tem=DP(i,j)%mod;

			int sum=0;

			for(int k=i;k<=j;k++) {

				for(int p=s[k].l;p<=s[k].r;p++) {

					if(!tag[p]) sum+=len[p];

					tag[p]=1;

				}

			}

			ans=ans*tem%mod*ksm(s[i].mx,sum)%mod;

			i=j;

		}

		for(int i=1;i<tot;i++) if(!tag[i]) ans=ans*ksm(A,len[i])%mod;

		cout<<ans<<"\n";

	}

	return 0;

}