从点云到网格（三）Poisson重建

Possion重建是Kazhdan等2006年提出的网格重建方法[1]。Possion重建的输入是点云及其法向量，输出是三维网格。Poisson有公开的源代码[2]。PCL中也有Poisson的实现。

核心思想

Possion重建是一个非常直观的方法。它的核心思想是点云代表了物体表面的位置，其法向量代表了内外的方向。通过隐式地拟合一个由物体派生的指示函数，可以给出一个平滑的物体表面的估计。

给定一个区域$M$及其边界$\partial M$，指示函数$\chi_M$定义为

这样，把重构$S = \partial M$的问题转换为重构$\chi_M$的问题。作者给出了将点云及其法向量和$\chi_M$联系起来的公式。作者论文中的图1非常形象地描述了这二者的联系。

基本思路

对于任意点$p\in \partial M$，定义$\vec{N}_{\partial M}(p)$为向内的表面法向量，$\tilde{F}(q)$为一个平滑滤波器，$\tilde{F}_p(q)=\tilde{F}(q-p)$为$\tilde{F}$沿$p$方向的平移。因为$\chi_M$一般意义上是不好求导的，这里用$\chi_M\ast\tilde{F}$的导数来近似。

从法向量到梯度空间

梯度空间的近似

由于$\vec{N}_{\partial M}$的分布是未知的，需要通过观测值$P=\left\lbrace \left( p_i,n_i\right) \right\rbrace$来近似。考虑离散点集$\Omega$，$\partial M$被分割为互不相交的区域$\wp_s,s\in\Omega$。$(1)$可以转化为积分求和，并将每个小积分近似为常函数，用代表点$s.p$对应的函数值和$\wp_s$的面积的乘积代替。

这里希望平滑滤波器$\tilde{F}$能够尽量地窄，不过分平滑数据，同时尽量地宽，使得积分近似能够更准确。高斯滤波器是一种常见的选择。

求解Possion问题

向量空间$\vec{V}$和指示函数$\tilde{\chi}$满足
\[
\nabla\tilde{\chi}=\vec{V}
\tag{3}
\]
然而，$\vec{V}$通常意义上是没法积分的（为什么？）。为了得到$(3)$式的最小二乘解，将$(3)$式两边求导，就得到了拉普拉斯方程
\[
\Delta\tilde{\chi}=\nabla\cdot\vec{V}
\tag{4}
\]

拉普拉斯方程在数学上有很详细的研究。

实现细节

空间划分

为了解一个偏微分方程问题，首先要将其离散化。最简单的方法是将空间划分为均匀网格。这种划分非常占内存空间，而且只有边界附近的值才是我们关心的，大量的空间被浪费了。作者采用了一种自适应的网格结构octree来划分空间，并且octree上定义了一个函数空间$F_o$。下图给出了octree在三维空间对一个物体的划分。物体边缘的网格密度远大于远离物体的网格密度。

http://http.developer.nvidia.com/GPUGems2/elementLinks/37_octree_03.jpg

空间上的基函数选择

如何选择函数空间$F_o$实际上挺有学问的。因为$F_o$一旦给定，定义在这个octree上的向量空间$\vec{V}$和指示函数$\chi$都会通过$F_o$的线性组合去近似。这样，求解$\chi$就转化为求解$F_o$上的参数组合，进而转化为求解一个线性方程组。

给定octree的深度$D$，作者根据选择了下面的基函数$F$。

$*n$代表$n$次卷积。当$n$趋向于无穷时，$F$趋向于高斯函数，它的定义域也越来越大。当$n=3$时，定义域为$[-1.5,1.5]^3$。

octree上某个节点$o$对应的函数$F_o$定义为
\[
F_o(q)\equiv F\left(\frac{q-o.c}{o.w}\right)\frac{1}{(o.w)^3}
\]
其中$o.c$是的$o$中心，$o.w$是$o$的宽度。假设根节点（第0层）的宽度为$W$，那么第$d$层节点的宽度为$\frac{W}{2^{d}}$。这个函数空间和小波空间很像。

Possion求解

Possion求解方法是L2投影（L2 projection）[3]。定义octree的节点集合为$O$。向量空间$\vec{V}$可以近似为
\[
\vec{V}(q)\equiv \Sigma_{s\in \Omega}\Sigma_{o\in Ng(s)}\alpha_{o,s}F_o(q)s.\vec{n}
\]
其中$Ng(s)$是$s$的八个最近邻的叶节点，$\alpha_{o,s}$是三线性插值的权重。

虽然$\vec{V}$和$\tilde{\chi}$都可以在函数空间上表示出来，$\Delta\tilde{\chi}$和$\nabla\cdot\vec{V}$却未必有定义。因此将$(4)$近似为最小化其在$F_o$上的投影
\[
\Sigma_{o} \lVert\langle \Delta \tilde{\chi}-\nabla\cdot\vec{V},F_o\rangle\lVert^2=\Sigma_{o} \lVert\langle \Delta \tilde{\chi},F_o\rangle-\langle\nabla\cdot\vec{V},F_o\rangle\lVert^2
\]
令$\tilde{\chi}=\Sigma_ox_oF_o$，那么求解$\tilde{\chi}$即是求解$x_o$。
\[
\langle \Delta \tilde{\chi},F_{o'}\rangle=\Sigma_{o}x_{o}\langle \Delta F_o,F_{o'}\rangle
\]
\[
\Sigma_{o} \lVert\langle \Delta \tilde{\chi},F_o\rangle-\langle\nabla\cdot\vec{V},F_o\rangle\lVert^2
=\Sigma_{o'}\lVert\Sigma_ox_o\langle \Delta F_o,F_{o'}\rangle-\langle\nabla\cdot\vec{V},F_{o'}\rangle\lVert^2
\]
上式右边对$x=\lbrace x_o\rbrace$求偏导，转化为
\[
\min \limits_{x}\left\lVert Lx-v \right\lVert ^2
\]
其中，设octree的节点数为$N$，$N\times N$矩阵$L$在$(o,o')$位置上的值为
\[
L_{o,o'}\equiv \langle\frac{\partial^2 F_o}{\partial x^2},F_{o'}\rangle+\langle\frac{\partial^2 F_o}{\partial y^2},F_{o'}\rangle+\langle\frac{\partial^2 F_o}{\partial z^2},F_{o'}\rangle
\]

表面提取

用Marching Cubes类似的方法。注意iso的值取自$S$个划分的平均。

作者还讨论了非均匀采样下的算法，在此就不赘述。

Poisson分析

简单列几点

Poisson在边缘处的锐度比VRIP要好。这是因为VRIP在大的边缘处TSDF的累加会有平滑效应，而Poisson依据的是法向量，不会引入额外的平滑。
VRIP是局部方法，每次只更新当前深度图对应的TSDF。Poisson是全局方法。
从个人使用经验上看，Poisson对于噪声更加鲁棒一些。点云法向量估计的精度不能太差。
如果重建出奇怪的形状（分层、分块），请查看原始点云是否平滑，是否有噪声，调整生成网格的分辨率以适应点云。

小结

Poisson是个好方法。

参考文献

[1]. Kazhdan, Michael, Matthew Bolitho, and Hugues Hoppe. "Poisson surface reconstruction." Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing. Vol. 7. 2006.
[2]. http://www.cs.jhu.edu/~misha/Code/PoissonRecon/Version8.0/
[3]. http://www.featflow.de/en/software/featflow2/tutorial/tutorial_l2proj.html