bzoj 2734: [HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n<=100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

输入输出格式

输入格式：

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n<=20。

输出格式：

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

8

【样例解释】 

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

题解:
这题很有意思,首先你得想到画出所有的倍数表,然后再发现规律......
如:
1   3    9
2   6   18
4  12  36
8   24  72
16 48 144
32 96 288

大概是这样横着是乘三,竖着乘二
这样画出来就发现题目要求的就是所选的数不能相邻......且行列都是log的所以可以直接状压dp
设f[i][j] 表示前i行,第j行状态为j   那么判断一下直接转移就是了
注意状压的要是乘三的,状态比乘二的少很多.
做到这样发现这个矩阵并没有包括所有的数字
所以还需要找到一个没出现的数继续构造矩阵并dp统计
如没出现的7
7   21 63.....
14 42 126...  
继续构造即可
最后答案统计时相乘即可

 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #define RG register
 #define il inline
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=<<,M=,mod=;
 int f[][N],lim,sz[N];
 bool vis[M];
 il int deal(int sta){
     int n=,s=sta,t=sta;
     for(int i=;i<=;i++){
         if(s>lim){
             n=i-;
             break;
         }
         vis[s]=true;t=s;
         sz[i]=;
         for(int j=;j<=;j++){
             if(t>lim)break;
             vis[t]=true;
             sz[i]++;
             t=(t<<)+t;
         }
         s<<=;
     }
     f[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         int tot=(<<sz[i])-;
         for(RG int j=;j<=tot;j++){
             if((j<<)&j)continue;
             int tmp=(<<sz[i-])-;
             f[i][j]=;
             for(RG int k=;k<=tmp;k++){
                 if((k<<)&k)continue;
                 if(j&k)continue;
                 f[i][j]+=f[i-][k];
                 if(f[i][j]>=mod)f[i][j]-=mod;
             }
         }
     }
     int tot=(<<sz[n])-,ret=;
     for(RG int j=;j<=tot;j++){
         if(j&(j<<))continue;
         ret+=f[n][j];if(ret>=mod)ret-=mod;
     }
     return ret;
 }
 void work()
 {
     scanf("%d",&lim);
     ll ans=;
     for(int i=;i<=lim;i++){
         if(!vis[i])
             ans*=deal(i),ans%=mod;
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }

 int main()
 {
     work();
     return ;
 }