B样条基函数的定义和性质

定义：令U={u₀,u1,…,u_m}是一个单调不减的实数序列，即u_i≤u_i+1，i=0，1，…，m-1。其中，u_i称为节点，U称为节点矢量，用N_i,p(u)表示第i个p次（p+1阶）B样条基函数，其定义为

由此可知：

（1）N_i,0(u)是一个阶梯函数，它在半开区间u∈[u_i,u_i+1)外都为零；

（2）当p>0时，N_i,p(u)是两个p-1次基函数的线性组合；

（3）计算一组基函数时需要事先制定节点矢量U和次数p；

（4）定义式中可能出现0/0，我们规定0/0=0；

（5）N_i,p(u)是定义在整个实数轴上的分段多项式函数，但我们一般只对它在区间[u₀,u_m]上的部分感兴趣；

（6）半开区间[u_i,u_i+1)称为第i个节点区间（knot span），它的长度可以为零，因为相邻节点可以是相同的；

（7）计算p次基函数的生成过程生成一个如下形式的三角形阵列：

为了书写方便，我们通常将N_i,p(u)写为N_i,p。

性质：

（1）（局部支撑性）如果u∉[u_i,u_i+p+1)，则N_i,p(u)=0。

（2）在任意给定的节点区间[u_j,u_j+1)内，最多p+1个N_i,p是非零的，它们是N_j-p,p，…，N_j,p。

（3）（非负性）对于所有的i，p和u，有N_i,p(u)≥0。

（4）（规范性）对于任意的节点区间[u_i,u_i+1)，当u∈[u_i,u_i+1)时

（5）（可微性）在节点区间内部，N_i,p(u)是无限次可微的。

（6）除p=0的情况外，N_i,p(u)严格地达到最大值一次。

以上结论出自：《非均匀有理B样条》第2版。