UVA10900 So you want to be a 2n-aire?

So you want to be a 2n-aire?

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在一个电视娱乐节目中，你一开始有1元钱。主持人会问你n个问题，每次你听到问题后有两个选择：一是放弃回答该问题，退出游戏，拿走奖金；二是回答问题。如果回答正确，奖金加倍；如果回答错误，游戏结束，你一分钱也拿不到。如果正确地回答完所有n个问题，你将拿走所有的\(2^n\)元钱，成为\(2^n\)元富翁。当然，回答问题是有风险的。每次听到问题后，你可以立刻估计出答对的概率。由于主持人会随机问问题，你可以认为每个问题的答对概率在t和1之间均匀分布。输入整数n和实数t（1≤n≤30，0≤t≤1），你的任务是求出在最优策略下，拿走的奖金金额的期望值。这里的最优策略是指让奖金的期望值尽量大。

Staginner的题解

《训练指南》P335.
这个题目从一开始思路上就有问题，后来结合别人的解题报告来看，终于明白是怎么回事了，而且也突然发现，貌似我适合冒险但不适合赌博……

我们不妨设a[i]表示正确做完第i道题的收益的期望，显然我们最后要求的就是a[0]咯，但这个先放一放，我们先讨论一下在做第i+1个题目前我们是选择答题呢还是选择放弃呢。

首先，我们可以直观的想到，如果做完i题就退出的话，就可以得到2^i这么多钱。不妨假设答对第i+1个题的概率为p，那么我们自然会想到用p乘以“某个值”表示答题所获得的收益的期望，如果p乘以这个值大于2^i的话，我们肯定会选择答题咯，因为若是这样答题的话收益的期望是大于不答题的。那么现在问题就来了，这个“某个值”是什么呢？可能的最大值？可能的最小值？还是平均值（或者说是期望）？

如果做个比喻的话，选最大值的就是冒险狂，选最小值的就是胆小鬼，选平均值的就是接受过良好高等教育的ACMer，一开始我就成了冒险狂……

后来想想，也确实只有平均值在统计里面才比较有说服力，因此题目中所谓的plays the best strategy就是按我们上面所说的去决策每次究竟是答题还是不答题。上面我们只是对于p是固定值来讨论的，如果我们对p是任意的去讨论的话，显然不答题的平均收益是不变的，因为它和p没关系，仍是2^i，如果答题的话平均收益就应该是(ep+1)/2a[i+1]，ep就是我们前面讨论的“分水岭”，用表达式写出来就是ep=2^i/a[i+1]，当p>ep，那么pa[i+1]>2^i，也就是说如果答对这个题我就可以获得a[i+1]这么多钱，再乘答对的概率p就是答第i+1题的收益的期望，如果这个期望大于2^i，那么就会选择答题。当然题目中让算的是总收益，我们再各自乘以答题与否这些情况出现的概率即可，即a[i]=(ep-t)/(1-t)2^i+(t-ep)/(1-t)(ep+1)/2*a[i+1]，这个式子值列出了ep>t的情况，对于ep<=t的情况，也可以类似写出表达式。

现在我们就发现了，计算a[i]是需要用到a[i+1]的，那我们怎么办？倒着算呗。那么a[N]是多少？显然是2^N，因为答对第N个题之后收益的期望自然就是最大的收益。

时间复杂度\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define co const
template<class T>T read(){
    T data=0,w=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
    return data*w;
}
template<class T>il T read(T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long LL;

co int N=35;
double d[N];
int main(){
    int n;
    double t;
    while(scanf("%d%lf",&n,&t)==2&&n){
        d[n]=1<<n;
        for(int i=n-1;i>=0;--i){
            double p0=(double)(1<<i)/d[i+1];
            if(p0<t) p0=t;
            double p1=(p0-t)/(1-t);
            d[i]=(double)(1<<i)*p1+(1+p0)/2*d[i+1]*(1-p1);
        }
        printf("%.3lf\n",d[0]);
    }
    return 0;
}