$Loj10157$ 皇宫看守 树形$DP$

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Description

有一些宫殿,它们呈树形结构,相邻的宫殿之间可以互相望见.在一些宫殿设立士兵,使得所有的宫殿都有士兵或是被士兵望见.求最小士兵数.

Sol

状态：

f[x][0] 表示结点i被父结点覆盖,以i为根的树需要的最小士兵数

f[x][1] 表示结点i被自己覆盖,以i为根的树需要的最小士兵数

f[x][2] 表示结点i被子结点覆盖,以i为根的树需要的最小士兵数

转移：(y是x的子结点)

f[x][0]=Σmin(f[y][1],f[y][2])

f[x][1]=Σmin(f[y][1],f[y][2],f[y][3])

f[x][2]=Σmin(f[y][1],f[y][2])+d,d=min(f[y][1]-min(f[y][1],f[y][2]))

就f[x][2]的转移稍微难想一点点,可以这样理解:

先算f[x][2]=Σmin(f[y][1],f[y][2]),但是这样并不能保证一定在某个y上设立了士兵

如果要保证这一点,那么就可能产生附加的代价,就是f[y][1]-min(f[y][1],f[y][2]),加上最小代价即可

Code

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #define Rg register
 #define il inline
 #define inf 2100000000
 #define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;++i)
 using namespace std;
 il int read()
 {
     int x=,y=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')y=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){x=(x<<)+(x<<)+c-'';c=getchar();}
     return x*y;
 }
 const int N=;
 int n,rt,f[N][],a[N];
 vector<int> c[N];
 bool d[N];
 il void dp(int x)
 {
     f[x][]=a[x];
     int hhh=c[x].size()-,t=inf;
     if(hhh<)return;
     f[x][]=;
     go(i,,hhh)
     {
         int y=c[x][i];dp(y);
         f[x][]+=min(f[y][],f[y][]);
         f[x][]+=min(f[y][],min(f[y][],f[y][]));
         t=min(t,f[y][]-min(f[y][],f[y][]));
     }
     f[x][]=f[x][]+t;
 }
 int main()
 {
     n=read();
     go(i,,n)
     {
         int t=read(),m,x;
         a[t]=read();m=read();
         while(m--){x=read();c[t].push_back(x);d[x]=;}
     }
     go(i,,n)f[i][]=inf;
     go(i,,n)if(!d[i]){rt=i;break;}
     dp(rt);
     printf("%d\n",min(f[rt][],f[rt][]));
     return ;
 }