uoj279 题目交流通道

题目：告诉你每两个点之间的最短路距离。构造每条边边权<=m的无向完全图。求有多少种不同边权的图满足最短路限制？n<=400.

标程：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=;
 const int N=;
 int n,a[N][N],c[N][N],g[N],f[N],sz[N],h[N],ans,m;
 bool ok()
 {
     for (int i=;i<=n;i++) if (a[i][i]) return ;
     for (int i=;i<=n;i++)
       for (int j=i+;j<=n;j++) if (a[i][j]!=a[j][i]||a[i][j]>m) return ;
     for (int i=;i<=n;i++)
       for (int j=i+;j<=n;j++)
         for (int k=;k<=n;k++)
           if ((ll)a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]) return ;
     return ;
 }
 int find(int x) {return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
 int ksm(int x,int y)
 {
     int res=;
     while (y) {if (y&) res=(ll)res*x%mod; x=(ll)x*x%mod; y>>=;}
     return res;
 }
 void init()
 {
     for (int i=;i<=n;i++) c[i][]=;
     for (int i=;i<=n;i++)
       for (int j=;j<=i;j++) c[i][j]=((ll)c[i-][j]+c[i-][j-])%mod;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);init(); ans=;
     for (int i=;i<=n;i++)
       for (int j=;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
     if (!ok()) return puts(""),;
     for (int i=;i<=n;i++) f[i]=i;
     for (int i=;i<=n;i++)
       for (int j=i+;j<=n;j++) if (!a[i][j]) f[find(i)]=find(j);
     for (int i=;i<=n;i++) sz[find(i)]++;
     for (int i=;i<=n;i++)
      if (f[i]==i)
       for (int j=i+,k;j<=n;j++)
         if (f[j]==j)
         {
             for (k=;k<=n;k++)
             if (f[k]==k&&k!=i&&k!=j&&a[i][j]==(ll)a[i][k]+a[k][j]) break;
           int ts=sz[i]*sz[j];
            if (k<=n) ans=(ll)ans*ksm(m-a[i][j]+,ts)%mod;
             else ans=(ll)ans*(ksm(m-a[i][j]+,ts)-ksm(m-a[i][j],ts)+mod)%mod;
          }
    for (int i=;i<=n;i++)
    {
       g[i]=h[i]=ksm(m+,i*(i-)/);//h[i]表示i个点不保证mst=0的方案数。g[i]表示包含1点和其他i-1个点中保证有mst=0的方案数。
       for (int j=;j<i;j++)
         g[i]=(ll)(g[i]-(ll)g[j]*h[i-j]%mod*c[i-][j-]%mod*ksm(m,j*(i-j))%mod+mod)%mod;
     }
     for (int i=;i<=n;i++) if (f[i]==i) ans=(ll)ans*g[sz[i]]%mod;
     printf("%d\n",ans);
    return ;
 }

易错点：1.不要漏取模。

题目：性质+并查集+容斥dp

特判一下不合法（无解）的情况。

考虑一张没有0边的图（如果有0边的话ijk三角形中会有两条边被判作无用），当a[i,j]=a[i,k]+a[k,j]时，a[i,j]这条边可以在a[i,j]~m中任取，这条边是没有贡献的。

考虑特殊的0边，如果有一些点对的距离为0，那么就用并查集缩起来，那么这个图就变成了若干个连通块，每个连通块中的点对之间的距离都是0。

所以就可以在连通块之间做没有0边的情况（两个连通块之间的所有边应该都是相等的，一条边的贡献可以直接统计sz[i]*sz[j]次），在连通块内用套路容斥出mst=0的边权方案数。

复杂度O(n^3).