榨取kkksc03 多维dp

榨取kkksc03 多维dp

题面：洛谷 P1855 榨取kkksc03

一道简单的动态规划，背包再加一维费用，首先可以易得三维动态规划转移方程

\[dp[i][j][w]=\left\{
\begin{array}{}
max(dp[i-1][j][w], dp[i-1][j-a[i].m][w-a[i].t]+1) \qquad \\
dp[i-1][j][w]
\end{array}
\right.
\]

即当前状态（决策到第\(i\)件物品，已花费\(j\)金钱\(w\)时间）可以由不选这个物品的状态与选了这个物品（如果可以转移）转移而来，其中价值就是已选了多少个物品

而后，类比背包，我们又可以去掉第一维，将三维压到二维。当然，也同背包，\(j\)和\(w\)的遍历应为倒序。

核心代码：

for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int w=t;w>=0;w--)
                if(j-a[i].m>=0&&w-a[i].t>=0)//判断状态是否合法
                    f[j][w]=MAX(f[j][w], f[j-a[i].m][w-a[i].t]+1);
                else
                    f[j][w]=f[j][w];

然而需要注意的是：

• 状态转移时要注意其合法性
• 初始化要均初始化为0。因为这样才能使最终f[m][t]的值表示不一定填满[m][n]的背包所获得的最大价值（因为最优解可能没有填满背包，即未用尽金钱与时间）；反之，若均初始化为-INF则最终f[m][t]的值表示一定填满[m][n]的背包所获得的最大价值。这一部分可以参考动态规划算法的初始化和转移