NOIP 初赛笔记

// zj蒟蒻瑟瑟发抖。。

// 停课了。要好好努力！——10月8日8:29于机房

1. 1946 年 美国 -> 第一台计算机

2. 真空电子管 -> 晶体管 -> 集成 -> 大规模集成

3. 字长：8位（8 bit）这种东西 balabala。。

4. 主频：about 运算速度 e.g. pii300 -> 主频300Hz

5. 工厂自动化（FA）.

　　　　CAD -> design;　　　　　　　　CAI -> 辅助教学

　　　　CAM -> manufacture;　　　　　EDI -> 电子数据交换（关于无现金交易这样子）

　　　　CAT -> test;　　　　　　　　　　OA -> office automation;

6. 硬件结构：冯·诺依曼式（美籍匈牙利人） -> 运算器 / 控制器 / 存储器 / 输入（出）设备　　=> 存储程序的概念

7. 卡特兰数：$C_n=\frac{C^n_{2n}}{n+1}$

　　　　　　用途：1. 长度为 n 的进栈序列 1,2,3，...，n，求出栈种数

　　　　　　　　　2. 在 （n+2） 边凸多边形内连若干不相交的对角线来划分三角形，求问几种？

　　　　　　　　　3. n 个节点排 BST

　　　　　　　　　4. n 对括号内有几种是匹配的？（in 全部情况）

8. 二叉树：$n_0=n_2+1$     对于k叉树，联立边关系和点关系，也就是$n=n_0+n_1+...+n_k$（点关系）和 $n-1=k*n_k+...+n_1$，于是可推出。

9. 约瑟夫环问题：当n为2的幂次时，最后留下的都是1；当n不是的时候，两个2的幂次之间，留下的人的编号为3,5,7,9，......

　　k阶约瑟夫问题：O(n) DP ：$f(1)=0$; $f(n)=(f(n-1)+k)mod\;n$  出现0是因为mod的缘故，+1就可以了

　　

n的值	队列	活下的人
1	1	1
2	1 2	1
3	1 2 3	3
4	1 2 3 4	1
5	1 2 3 4 5	3
6	1 2 3 4 5 6	5
7	1 2 3 4 5 6 7	7
8	1 2 3 4 5 6 7 8	1

10. 08年提高问题求解T2（21本书选四本，每两本编号不相邻）：可有$1\le x_1<x_2-1<x_3-2<x_4-3\le18$，即将不连续的$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$映射到[1,18]的连续区间上，也就相当于$C_{18}^4$，故答案为3060.

11. 99年提高：n条折成角的直线，划分平面数目为$2n^2-n+1$。推论：直线分割平面：$\frac{n(n+1)}{2}+1$；封闭曲线（如一般位置上的圆）分割平面：$n^2-n+2$；平面分割空间：$\frac{n^3+5n}{6}+1$。

12. 07年普及：n个数划分r个非空集合，有$S(n,1)=1$; $S(n,n)=1$; $S(n,r)=S(n-1,r-1)+r\times S(n-1,r)$。$S(n-1,r-1)$不用乘系数，因为在向下推的时候已经包含了固定各个数的情况。听说也是第二类斯特林数。

13. 06年提高：三角形路径数目。一种解释是：路径唯一，从倒数第二层到终点有且仅有n-1种方法，再向上同理，为n-2种。根据乘法原理，n层三角形的方案数目是$(n-1)!$

14. x个a，y个b，z个c排字符串，包含子串'abc'的种数：捆一个abc，算全排列；捆两个，减去；捆三个，加上。e.g. 3个a，5个b，3个c，种数：$\frac{9!}{2!4!2!}-\frac{7!}{2!3!}+\frac{5!}{2!3!}$

15. 圆桌问题之相邻不重复。有n个人坐在一张圆桌上吃饭，要求每天每一个人两边相邻的人不同，问这样最多可以安排多少天？如3个人时只能1天，4个人时也只能是1天，而5个人可以安排2天。那么抽象为n个节点的无向图，每一个节点都去和其他所有节点连边，总边数为$\frac{n(n-1)}{2}$，每一天过后都删去n条边，所以得到的结论就是$\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

16. 强制类型转换：(类型)(表达式)。事实上，除非表达式是单个变量，否则都要加括号。e.g. (int)x+y 的含义是将x转换为int以后和y相加，与(int)(x+y)的含义是不同的。

17. 由数字1,1,2,4,8,8所组成的不同的四位数的个数是102。算法：不能直接$C^4_6\;A^4_4$然后干嘛干嘛。。正解应当分类讨论

　　一：①1、1、2、4；②1、1、2、8；③1、1、4、8；④1、2、8、8；⑤1、4、8、8；⑥2、4、8、8这6组，他们的方案数都是$\frac{A_4^4}{2!}$，总的就是$6\times 12$，72种；

　　二：仅有1、2、4、8组成当然就是4个全排列；

　　三：1、1、8、8去排；

　　答案就是$72+24+6=102$。

18. 14提高选择：同时查找2n 个数中的最大值和最小值，最少比较次数为( )。正解：两两比较，大的和max去比，小的和min去比。第一组比较一次得到max和min；后面$2\times (n-1)$个数，两两比较需要$n-1$次，每一个还会去和max/min比较一次，也就是$2\times (n-1)$次，综上，即为$3\times (n-1)+1$次。

19. 应用快速排序的分治思想，可以实现一个求第k大数的程序。假定不考虑极端的最坏情况，理论上可以实现的最低的算法时间复杂度是。。。O（n）！

　　呃，事实上，在做的时候，分治的另一个区间是可以抛掉的。也就是说，虽然进行了二分，$T(n)=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...$ 因此渐进复杂度为O（n）。

20. 世纪难题：约瑟夫好人坏人version，尚未知道数学解法，无法手算qwq；

21. 对于一个无向图，他不是联通图意味着必定存在一个节点的度为0；对于任何一个图，不存在奇环是其为二分图的充要条件；

22. 任何一个算法的空间复杂度都不大于其时间复杂度；

23. while(1)rp++；