2019ICPC南昌邀请赛网络赛 I. Max answer (单调栈+线段树/笛卡尔树)

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题意：求一个序列的最大的(区间最小值*区间和)

线段树做法：用单调栈求出每个数两边比它大的左右边界，然后用线段树求出每段区间的和sum、最小前缀lsum、最小后缀rsum，枚举每个数a[i]，设以a[i]为最小值的区间为[l,r]

若a[i]>0，则最优解就是a[i]*([l,r]的区间和)，因为[l,r]上的数都比a[i]大。

若a[i]<0，则最优解是a[i]*([l,i-1]上的最小后缀+a[i]+[i+1,r]上的最小前缀)，在线段树上查询即可。

复杂度$O(nlogn)$

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=5e5+,inf=0x3f3f3f3f;
 int a[N],n,sta[N],L[N],R[N],tp;
 #define ls (u<<1)
 #define rs (u<<1|1)
 #define mid ((l+r)>>1)
 struct D {ll sum,lsum,rsum;} s[N<<];
 D mg(D a,D b) {
     D t= {,};
     t.sum=a.sum+b.sum;
     t.lsum=min(a.lsum,a.sum+b.lsum);
     t.rsum=min(b.rsum,b.sum+a.rsum);
     return t;
 }
 void build(int u=,int l=,int r=n) {
     if(l==r) {s[u].sum=a[l],s[u].lsum=min((ll)a[l],0ll),s[u].rsum=min((ll)a[l],0ll); return;}
     build(ls,l,mid),build(rs,mid+,r),s[u]=mg(s[ls],s[rs]);
 }
 void qry(int L,int R,D& x,int u=,int l=,int r=n) {
     if(l>=L&&r<=R) {x=mg(x,s[u]); return;}
     if(l>R||r<L)return;
     qry(L,R,x,ls,l,mid),qry(L,R,x,rs,mid+,r);
 }
 int main() {
     scanf("%d",&n);
     a[]=a[n+]=~inf;
     for(int i=; i<=n; ++i)scanf("%d",&a[i]);
     sta[tp=]=;
     for(int i=; i<=n; ++i) {
         for(; a[sta[tp]]>=a[i]; --tp);
         L[i]=sta[tp]+,sta[++tp]=i;
     }
     sta[tp=]=n+;
     for(int i=n; i>=; --i) {
         for(; a[sta[tp]]>=a[i]; --tp);
         R[i]=sta[tp]-,sta[++tp]=i;
     }
     build();
     ll ans=;
     for(int i=; i<=n; ++i) {
         if(a[i]>) {
             D t= {,};
             qry(L[i],R[i],t);
             ans=max(ans,a[i]*t.sum);
         } else if(a[i]<) {
             ll x=;
             D t= {,};
             qry(L[i],i,t);
             x+=t.rsum;
             t= {,};
             qry(i,R[i],t);
             x+=t.lsum;
             x-=a[i];
             ans=max(ans,a[i]*x);
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

笛卡尔树做法：对整个序列建立笛卡尔树，用和线段树相同的方法求出每个结点的子树所代表区间的sum,lsum,rsum，枚举每个结点，如果是正数则乘上该结点的sum，如果是负数则乘上该结点的(左儿子的rsum+右儿子的lsum+结点本身的值)即可。

复杂度$O(n)$

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=5e5+,inf=0x3f3f3f3f;
 int n,a[N],ls[N],rs[N],sta[N],tp;
 ll sum[N],lsum[N],rsum[N];
 void build() {
     a[n+]=~inf,sta[tp=]=n+;
     for(int i=; i<=n; ++i) {
         for(; a[i]<a[sta[tp]]; --tp);
         ls[i]=rs[sta[tp]],rs[sta[tp]]=i,sta[++tp]=i;
     }
 }
 void dfs(int u) {
     if(!u)return;
     dfs(ls[u]),dfs(rs[u]);
     sum[u]=sum[ls[u]]+a[u]+sum[rs[u]];
     lsum[u]=min(lsum[ls[u]],sum[ls[u]]+a[u]+lsum[rs[u]]);
     rsum[u]=min(rsum[rs[u]],sum[rs[u]]+a[u]+rsum[ls[u]]);
 }
 int main() {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=; i<=n; ++i)scanf("%d",&a[i]);
     build(),dfs(rs[n+]);
     ll ans=;
     for(int i=; i<=n; ++i) {
         if(a[i]>)ans=max(ans,a[i]*sum[i]);
         else if(a[i]<)ans=max(ans,a[i]*(rsum[ls[i]]+a[i]+lsum[rs[i]]));
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }