POJ 2533 Longest Ordered Subsequence - from lanshui_Yang

题目大意：求一个数列的最长上升子序列（严格上升）。

解题思路：

方法一：O(n^2)

dp[i]：表示处理到第i个位置，序列的最长上升子序列末尾为i的长度； a[]数组存储原序列

dp[i] = max{dp[j]+1}，a[i]>a[j]，0≤j≤i

方法二：O(nlogn)

复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。

这个算法的具体操作如下:

开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。最长序列长度即为栈的大小top。

道理：对于数列中的a[i] 和a[j] ，i < j , 假设a[ i ]已在栈stap中，a[ j ] 未在栈中，这时读到元素a[ j ] , 如果a[ j ] < a[ i ](此时a[j]必然小于栈顶元素), 将a[j]与 a[i] 互换，此时这个栈的大小没有变化，但这个栈的“潜力”变大了，因为如果存在a[ j ] < a[ z ] < a[ i ] (i < j < z) ,当a[ i ]为栈顶元素时，a[ j ] 替换 a[ i ]后成为栈顶元素，此后在读到a[ z  ] 时就能把a[z] 压入栈，栈的大小就增加 1 ， 即最长上升子序列长度就增加了1。

举例：原序列为1，5，8，3，6，7

栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

请看代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std ;
const int MAXN = 1e3 + 5 ;
int s[MAXN] ;
int dp[MAXN] ;
int n ;
int stap[MAXN] ;
int top ;
void init()
{
    int i , j ;
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        scanf("%d" , &s[i]) ;
    }
}
void solve()  // O(n^2) 算法
{
    int i , j ;
    dp[1] = 1 ;
    for(i = 2 ; i <= n ; i ++)
    {
        dp[i] = 1 ;
        for(j = 1 ; j < i ; j ++)
        {
            if(s[i] > s[j] && dp[i] < dp[j] + 1)
            {
                dp[i] = dp[j] + 1 ;
            }
        }
    }
    int MAX = -1 ;
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        if(MAX < dp[i])
        MAX = dp[i] ;
    }
    printf("%d\n" , MAX) ;
}

void solve2()  // O(n log n) 算法
{
    top = 0 ;
    stap[++ top] = s[1] ;
    int i ;
    for(i = 2 ; i <= n ; i ++)
    {
        if(s[i] > stap[top])
        {
            stap[++ top] = s[i] ;
        }
        else if(s[i] < stap[top])
        {
            int left , right , mid ;
            left = 1 ;
            right = top ;
            while (left < right)
            {
                mid = (left + right) / 2 ;
                if(stap[mid] < s[i])
                {
                    left = mid + 1 ;
                }
                else if(stap[mid] == s[i])
                {
                    break ;
                }
                else
                {
                    right = mid ;  // 注意不是 mid - 1  ！！
                }
            }
            mid = (left + right) / 2 ;
            stap[mid] = s[i] ;
        }
    }
    printf("%d\n" , top) ;
}
int main()
{
    while (scanf("%d" , &n) != EOF)
    {
        init() ;
        //solve() ;
        solve2() ;
    }
    return 0 ;
}