BZOJ 3665: maths

Sol

矩阵乘法+快速幂+欧拉定理.

首先观察题目可以发现 \(A_n\) 可以表示成关于 \(K\) 和 \(A_0\) 的几次幂的形式.

\(A_0\) 就比较简单了 \(m^n\) 所以第一部分 \(ans1=A_0^{m^n}\) .

看看 \(k\) 找一下规律就可以发现, \(K\) 的次幂形式是 \(m^{n-1}+2m^{n-2}+3m^{n-3}+...+nm^0\) .

这个东西可以构造一个矩阵,来递推出来.矩阵里需要有 \(3\) 个变量 \(ans,b,1\) .

其中 \(ans\) 是当前答案, \(b\) 是循环变量, \(1\) 就是 \(b\) 每次递增的数值.

\[\begin{bmatrix}ans\\ b\\ 1\end{bmatrix}\]

就是这样的一个矩阵,我们想它变成

\[\begin{bmatrix}ans*m+b\\ b+1\\ 1\end{bmatrix}\]

显然啊.矩阵很好构造.

\[\begin{bmatrix}m&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\]

这个矩阵快速幂就可以了,但是注意是 \(n-1\) 次幂.

然后这道题还有个坑点就是 \(p\) 不是质数,但是保证互质,如果是 \(k\) 或 \(A_0\) 我们只需要模关于 \(p\) 的逆元的次幂就可以了,这里可以直接用欧拉定理.

\[a^{\varphi(n) }\equiv 1(mod n)\]

然后就成了模板题了...满满的全是模板...

md!sbt卡常数.写个快速乘.变成 \(log^2\) T到死.需要优化这个常数,把一个 \(log\) 优化掉就可以.

快速乘可以分段来写先乘前 \(10^6\) 的数字再乘后 \(10^6\) 的数字就可以了.

之前没想快速乘的这个 \(log\) 感觉可以过...然后为了卡常数...什么都写了...

Code

/**************************************************************
    Problem: 3665
    User: BeiYu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:12284 ms
    Memory:20836 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
//typedef vector<LL> Vec;
//typedef vector<Vec> Mat;

struct Mat{
    LL a[3][3];
    Mat(){ memset(a,0,sizeof(a)); }
};
LL T,p,m,n,k,a0,phi;
LL ans1,ans2;

char *ps=(char *)malloc(20000000);
inline LL in(LL x=0){ for(;*ps>'9'||*ps<'0';ps++);
    for(;*ps>='0'&&*ps<='9';ps++) x=(x<<3)+(x<<1)+*ps-'0';return x; }
inline void Out(LL x){
    int l=0;char ch[65];
    if(!x){ putchar('0');return; }
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    while(x) ch[++l]=x%10+'0',x/=10;
    for(int i=l;i;i--) putchar(ch[i]);
}
inline LL GetPhi(LL p){
    LL res=p,m=sqrt(p)+0.5;
    for(int i=2;i<=m;i++) if(p%i==0){
        res=res/i*(i-1);
        while(p%i==0) p/=i;
    }
    if(p>1) res=res/p*(p-1);return res;
}
inline LL Mul(LL a,LL b,LL p){
    LL t1=b/1000000,t2=b%1000000;
    return ((t1*a)%p*1000000%p+t2*a%p)%p;
}
inline LL Pow(LL a,LL b,LL p,LL res=1){ for(;b;b>>=1,a=Mul(a,a,p)) if(b&1) res=Mul(res,a,p);return res; }
Mat operator * (const Mat &A,const Mat &B){
    Mat C;
    for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++) for(int k=0;k<3;k++)
        C.a[i][j]=(C.a[i][j]+Mul(A.a[i][k],B.a[k][j],phi))%phi;
    return C;
}
Mat operator ^ (Mat A,LL b){
    Mat res;
    for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++) res.a[i][j]=(i==j)?1:0;
    for(;b;b>>=1,A=A*A) if(b&1) res=res*A;
    return res;
}

int main(){
//  freopen("maths.in","r",stdin);
//  freopen("maths.out","w",stdout);
//  ios::sync_with_stdio(false);
    fread(ps,1,20000000,stdin);
    Mat A;
    for(T=in(),p=in(),phi=GetPhi(p);T--;){
        m=in()%phi,a0=in()%p,k=in()%p,n=in();

//      cout<<Mul(n,Pow(n,5))<<endl;
//      cout<<m<<" "<<a0<<" "<<k<<" "<<n<<endl;
        ans1=Pow(a0,Pow(m,n,phi),p);
//      cout<<ans1<<endl;
        A.a[0][0]=m,A.a[0][1]=1,A.a[0][2]=0;
        A.a[1][0]=0,A.a[1][1]=1,A.a[1][2]=1;
        A.a[2][0]=0,A.a[2][1]=0,A.a[2][2]=1;
        A=A^(n-1);
        ans2=Pow(k,((A.a[0][0]+2*A.a[0][1])%phi+A.a[0][2])%phi,p);
//      cout<<ans1<<" "<<ans2<<endl;
        Out(Mul(ans1,ans2,p)),putchar('\n');
//      printf("%I64d\n",Mul(ans1,ans2,p));
    }
    return 0;
}