最短路径问题——bellman算法

关于最短路径问题，最近学了四种方法——bellman算法、邻接表法、dijkstra算法和floyd-warshall算法。

这当中最简单的为bellman算法，通过定义一个边的结构体，存储边的起点、终点和路径长度，然后通过一个while（1）死循环不断地访问每一条边，更新源点到各点的最短距离，直到没有更新时结束。这时便得到了从源点到其他点的最短距离。附上代码一段：

#include<iostream>
#define INF 100000000
using namespace std;

struct eg
　　{
　　　　int s,t;
　　　　int c;
　　};//边的结构体，存储元素为起点s，终点t，路径s到t之间的长度
eg Eg[100];
int dis[100];

void bellman(int s,int E)
　　{
　　　　fill(dis,dis+100,INF);//初始化所有最短距离为INF；
　　　　dis[s]=0;//但源点的最短距离为0，自己到自己
　　　　while(1)
　　　　　　{
　　　　　　　　bool update= false;
　　　　　　　　for(int i=0;i<E;i++)
　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　eg e=Eg[i];
　　　　　　　　　　　　if(dis[e.s]!=INF && dis[e.t]>dis[e.s]+e.c)//更新
　　　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　　　dis[e.t]=dis[e.s]+e.c;
　　　　　　　　　　　　　　　　update = true;
　　　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　if(!update)//如果遍历所有的边均不再有更新，则跳出循环
　　　　　　　　break;
　　　　}
　　}

int main()
　　{
　　　　int E;//定义边的变量
　　　　cin >> E;
　　　　for(int i=0;i<E;i++)//直接存储边
　　　　　　{
　　　　　　　　cin >> Eg[i].s >> Eg[i].t >> Eg[i].c;
　　　　　　}

　　　　int s1；

　　　　cin >> s1;//定义一个源点

　　　　bellman(s1,E);
　　　　int t;
　　　　cin >> t;
　　　　cout << dis[t] << endl;
　　　　return 0;
　　}

综上代码我们可以分析，bellman算法的时间复杂度为o（v*e），while循环最多执行v-1次；bellman算法还存在一个问题在于负圈，如果图中存在源点s可达的负圈（图中存在的环并且这个环里面有负边（边的值为负值）），当while循环更新时，走到这个负圈，dis【e.t】>dis[e.s]+e.c则是恒成立，每次的while循环中都会有更新，这样再用刚刚的那个方法的话就会形成死循环，所以，用bellman算法得保证图中不存在源点s可达的负圈。附上查找负圈的代码：

bool find_negative_loop()

{

　　memset(dis,0,sizeof(dis));//注意和fill的写法不同（fill(dis,dis+e,INF)）

　　for(int i=1;i<=v;i++)

　　　　for(int j=0;j<e;j++)

　　　　　　{

　　　　　　　　eg e=Eg[j];

　　　　　　　　if(dis[e.t]>dis[e.s]+e.c)

  　　　　　　　　{

　　　　　　　　　　　dis[e.t]=dis[e.s]+e.c;

　　　　　　　　　　　if(i==v) return true;

　　　　　　　　　}

　　　　　　}

}