题解 P3834 【【模板】可持久化线段树 1（主席树）】

可持久化线段树的前置知识是权值线段树，但是你不学也没有太大的关系因为思想不是很难理解。

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可持久化线段树支持历史记录查询，这是它赖以解题的方法。

在本题中思路是建立n颗线段树，然后对于每次询问，考虑其中两颗：由于这n颗线段树的结构都一样，而且区间是可以加减的，所以我们将它们相减，再搜一下就可以得到第K大了。

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我们每一颗线段树，维护的是元素在区间中出现的次数。

假如直接建n颗树，空间不能接受，因此我们可以考虑简化。可以发现，这些区间都是[1,i]的形式，因此左半部分事实上都是相同的，每一次建立新的树我们只用右半部分新建，重复利用左半部分即可，这样的话空间就可以接受了。

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重要变量

int a[N],b[N],T[N];
int sum[N*DEPTH],L[N*DEPTH],R[N*DEPTH];

a数组是题目给出的数组。

b数组是经过排序去重之后的数组。

T数组储存每一颗线段树的根节点（和普通线段树不一样，可持久化线段树的建树和更新都有返回值）。

sum数组就是区间中数的个数。

L和R表示左儿子与右儿子。

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建树

inline int build(int l,int r){
    int pos=tot++,mid=(l+r)>>1;
    if(l<r){
        build(l,mid),build(mid+1,r);
    }
    return pos;
}

首先先新建节点，然后递归建树，没什么好讲的。

注意函数末尾返回新建节点的编号（用于T数组的赋值）。

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更新

inline int update(int l,int r,int v,int pre){
    int pos=tot++,mid=(l+r)>>1;
    L[pos]=L[pre],R[pos]=R[pre],sum[pos]=sum[pre]+1;
    if(l<r){
        if(v<=mid)L[pos]=update(l,mid,v,L[pre]);
        else R[pos]=update(mid+1,r,v,R[pre]);
    }
    return pos;
}

和普通线段树的更新相比，可持久化线段树的少了一个pos表示当前位置，多了一个pre表示之前的。

首先还是先新建一个节点（毕竟我们可持久化就是一颗颗树），然后新的这一个部分先连向之前那个节点的左右儿子。

这个时候，我们再根据更新的值去重新确定新的左右儿子。

然后最后返回节点编号（为了顶上的确定流程）。

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查询

inline int query(int phase1,int phase2,int l,int r,int k){
    int t=sum[L[phase2]]-sum[L[phase1]],mid=(l+r)>>1;
    if(l<r){
        if(k<=t)return query(L[phase1],L[phase2],l,mid,k);
        return query(R[phase1],R[phase2],mid+1,r,k-t);
    }
}

查询操作比较好理解，有点像差分。

就是我们有两个版本的线段树，然后拿他们相减，一路往下找，最后拿到答案即可。

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然后就写完了。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
namespace ElderTree{
    const qwq N=200200,DEPTH=23;
    inline qwq read(){
        qwq x=0,f=1;char c=getchar();
        for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;
        for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';
        return x*f;
    }
    qwq n,m,q,tot;
    qwq a[N],b[N],T[N];
    qwq sum[N*DEPTH],L[N*DEPTH],R[N*DEPTH];
    inline qwq build(qwq l,qwq r){
        qwq pos=tot++,mid=(l+r)>>1;
        if(l<r){
            build(l,mid),build(mid+1,r);
        }
        return pos;
    }
    inline qwq update(qwq l,qwq r,qwq v,qwq pre){
        qwq pos=tot++,mid=(l+r)>>1;
        L[pos]=L[pre],R[pos]=R[pre],sum[pos]=sum[pre]+1;
        if(l<r){
            if(v<=mid)L[pos]=update(l,mid,v,L[pre]);
            else R[pos]=update(mid+1,r,v,R[pre]);
        }
        return pos;
    }
    inline qwq query(qwq phase1,qwq phase2,qwq l,qwq r,qwq k){
        qwq t=sum[L[phase2]]-sum[L[phase1]],mid=(l+r)>>1;
        if(l<r){
            if(k<=t)return query(L[phase1],L[phase2],l,mid,k);
            return query(R[phase1],R[phase2],mid+1,r,k-t);
        }
    }
}
using namespace ElderTree;
qwq main(){
    n=read(),q=read();
    for(qwq i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1),m=unique(b+1,b+n+1)-1-b,T[0]=build(1,m);
    for(qwq i=1;i<=n;++i){
        qwq t=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
        T[i]=update(1,m,t,T[i-1]);
    }
    while(q--){
        qwq x,y,z;
        x=read(),y=read(),z=read();
        cout<<b[query(T[x-1],T[y],1,m,z)]<<endl;
    }
    return 0;
}