String Reduction问题分析

问题描述：

Given a string consisting of a,b and c's, we can perform the following operation: Take any two adjacent distinct characters and replace it with the third character. For example, if 'a' and 'c' are adjacent, they can replaced with 'b'. What is the smallest string which can result by applying this operation repeatedly?

翻译：

给定一个由a/b/c构成的字符串，你可以把相邻且不同的两个字符替换为剩下的那一个字符，比如你可以把字符串中的‘ab’替换为‘c’。求通过不断的替换操作，最后能得到的字符串的最小长度是多少？

Sample Input

3 
cab 
bcab 
ccccc

Sample Output

2 
1 
5

样例解释：

cab -> cc or cab -> bb

bcab -> aab -> ac -> b

ccccc 不可变

---

解答：

令X Y Z分别代表'a' 'b' 'c'中的一个字符（三个字符等价，我们只关心不同字符排列的关系）。

令S为给定的字符串，|X| |Y| |Z| |S| 分别为 X Y Z 的个数和 S 的长度。

有以下几种情况：

1. S只含1种字符，此时字符串不可被归约，答案即|S|.

2. S含2种字符，X 和 Y. 那么又有以下几种情况：

　　(1) |S| = 2

　　S 为 XY 或 YX，两种情况都可以归约为Z，答案为1.

　　(2) |S| = 3

　　假设|X| = 2，|Y| = 1. S 有3种情况：XYX YXX XXY 这3种情况都可以归约为Y，答案为1.

　　(3) |S| > 3

　　从|S| = 3 的情况我们知道XYX YXX XXY都可以归约为Y，并且不会引入Z. 所以，我们可以对S按以下步骤不断归约：

　　　　i　　找出|X|和|Y|中较小者(或相等)，假设为Y (|Y| <= |X|)

　　　　ii　　我们从S中至少可以找到1个Y周围是这样的形式：XXY, XYX 或 YXX. (因为如果找不到，那么要么|X|=|Y|=1, 要么|Y| > |X|，与前面的前提矛盾)。将这个子串替换为Y.

　　　　iii　　如果 |S| > 3，转到 i.

　　在 ii 中，字符长度每次减少2. 减少的是2个当前数目较多那一类字符(X)。

　　假设|S|是奇数：那么每次减少2个字符最后会剩余1个字符，所以答案是1.

　　假设|S|是偶数：那么最后剩余2个字符，一种情况剩余两个字符不同，那么答案是1，另一种情况剩余两个字符相同，那么答案是2。

　　那么|S|是偶数时，如何确定剩余的字符是否相同？从 ii 中看到每次归约中字符都是2个一起被去掉。所以当|S|为偶数时，有两种情况：

　　　　|X|为偶，|Y|也为偶，这样最后留下的是两个一样的字符，答案为2.

　　　　|X|为奇，|Y|也为奇，这样最后留下的是两个不同的字符，答案为1.

　　加上前面的情况：

　　|S| = 2，|X| = |Y| = 1 均为奇数，答案为1.

　　|S| = 3，|X| = 2为偶， |Y| = 1为奇

　　所以S仅由两种字符构成的情况下的结论为：如果|X|和|Y|都是偶数那么答案是2，否则为1.

3. S由3种字符构成：

归约方法：

　　(1) 找到数目最小的字符Z;

　　(2) 找到一个与X(Y)相邻的Z，将它们替换为Y(X);

　　(3) 如果|Z| > 0，转(2).

通过不断这样的操作可以消除所有的Z，从而得到只由两个字符组成的串，退化到第2种情况。

第(2)步中每次|Z|减少1，同时带走一个X或Y，同时引入一个新的Y或Z.

设|Rx| |Ry|为被带走的X和Y的数量，|Ix| |Iy|为引入的X和Y的数量，|Ox| |Oy|是原始字符串中X和Y的数目， |X|和|Y|为消去Z之后的串中X和Y的数目。则有以下关系：

　　|Rx| + |Ry| = |Z|

　　|Rx| =|Iy|        |Ry| = |Ix|

　　|X| = |Ox| + |Ix| - |Rx| = |Ox| + (|Ry| - |Rx|)

　　|Y| = |Oy| + |Iy| - |Ry| = |Oy| + (|Rx| - |Ry|)

再分两种情况讨论：

　　|Z| 为奇数：|Rx| |Ry|一定是一奇一偶。假设|Rx|为奇，|Ry|为偶，那么|Ry| - |Rx| 和 |Rx| - |Ry|都是奇数。所以如果|Ox|和|Oy|都是奇数，那么|X|和|Y|都是偶数，按前面的结论知答案为2；如果|Ox|和|Oy|至少1个偶数，那么答案为1。

　　|Z|为偶数：|Rx| |Ry|要么都奇，要么都偶。无论是奇是偶，|Rx| - |Ry| 和 |Ry| - |Rx| 都一定是偶数。所以若|Ox||Oy|都为偶数，那么|X|和|Y为也都为偶数，答案为2；若|Ox| |Oy|中至少1个奇数，那么答案为1.

例外情况：如果只有1个Z和1个X，而且它们恰好相邻：

　　ZXYY...　　...YYZXYY...　　　　...YYXZ

此时不应该将ZX归约为Y，而应该将XY归约为Z.

结论：归约后最终剩余字符个数只与原字符串中各个字符的奇偶性有关。

|X|==|S| && |Y|==0 && |Z| ==0,                                         answer = |S|;

|X|, |Y|, |Z| 都为奇数或都为偶数,                                             answer =   2 ;

|X|, |Y|, |Z| 中既有奇数又有偶数,　　　　　　　　　　                 answer =   1 ;

所以求这个问题只需要扫描一次串，统计各种元素的个数即可，代码就不贴了。