P8816 [CSP-J 2022] 上升点列

Problem

考察算法：\(DP\)。

题目简述

给你 \(n\) 个点，每个点有一个坐标 \((x_i,y_i)\)，还可以添加 \(k\) 个点。

添加之后，求：最长的上升点列的长度。

上升点列定义（两个点满足其中之一即可）：

• \(x_{i+1}-x_{i} = 1,y_i = y_{i + 1}\)
• \(y_{i+1} - y_{i} = 1,x_i = x_{i + 1}\)

思路

设二维数组 \(f[i][j]\) 表示以第 \(i\) 个坐标结尾，增加 \(j\) 个点后最长上升点列的长度。

边界条件

如果每个点不和其他任何点连接，添加 \(j\) 个点后，上升点列的长度也最少是 \(j + 1\)。

注意：\(j\) 的循环范围是 \(0 \to k\)。

$ f[i][j] = j + 1$。

状态转移方程设计

设变量 \(t\) 为当前枚举到的左下方的点(状态的转移只能来自左下方)，变量 \(c\) 为如果要连接 \(i\) 点和 \(t\) 点，最少要添加多少个点。

变量 \(c\) 如何计算：曼哈顿距离。\(c = (x_i-x_t) + (y_i - y_t) - 1\)。

所以：\(f_{i,j} = \max(f_{i,j}, f_{t,j - c} + c + 1)\)

因为如果要添加 \(c\) 个点，\(t\) 点只能添加 \(j - c\) 个点，然后加上添加的 \(c\) 个点再加一，就能得到上升点列的长度。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510;
struct node{
	int x, y;
} a[N];
int n, k, f[N][N];

bool cmp(node n1, node n2) {
	return n1.x < n2.x || (n1.x == n2.x && n1.y < n2.y);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
	sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= k; j++) {
			f[i][j] = j + 1;
		}
	}
	int c;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int t = 1; t < i; t++) {
			if (a[t].y > a[i].y) continue;
			c = a[i].x - a[t].x + a[i].y - a[t].y - 1;
			for (int j = c; j <= k; j++)
				f[i][j] = max(f[i][j], f[t][j - c] + c + 1);
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, f[i][k]);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}