第五届蓝桥杯（2014）C/C++大学A组省赛题解

第一题、猜年龄

小明带两个妹妹参加元宵灯会。别人问她们多大了，她们调皮地说：“我们俩的年龄之积是年龄之和的6倍”。小明又补充说：“她们可不是双胞胎，年龄差肯定也不超过8岁啊。”

请你写出：小明的较小的妹妹的年龄。

注意： 只写一个人的年龄数字，请通过浏览器提交答案。不要书写任何多余的内容。

答案：10

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    for (int i = 1; i <= 100; ++i)
        for (int j = i + 1; j <= i + 8; ++j)
            if (i * j == (j + i) * 6) cout << i << " " << j << "\n";
    return 0;
}
// 妹妹 10岁，姐姐 15岁A

第二题、切面条

一根高筋拉面，中间切一刀，可以得到2根面条。

如果先对折1次，中间切一刀，可以得到3根面条。

如果连续对折2次，中间切一刀，可以得到5根面条。

那么，连续对折10次，中间切一刀，会得到多少面条呢？

答案是个整数，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。

答案：1025

公式：\(2^n + 1\) ， \(pow(2,10) + 1\)

第三题、神奇算式

由4个不同的数字，组成的一个乘法算式，它们的乘积仍然由这4个数字组成。

比如：

210 x 6 = 1260

8 x 473 = 3784

27 x 81 = 2187

都符合要求。

如果满足乘法交换律的算式算作同一种情况，那么，包含上边已列出的3种情况，一共有多少种满足要求的算式。

请填写该数字，通过浏览器提交答案，不要填写多余内容（例如：列出所有算式）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string i2s(int i) {
    stringstream ss;
    string s;
    ss << i;
    ss >> s;
    return s;
}

void solve1(int i, int j, int k, int l) {
    int a = i;
    int b = 100 * j + 10 * k + l;
    int c = a * b;
    string s = i2s(c);
    if (s.find(i + '0') != string::npos && s.find(j + '0') != string::npos &&
        s.find(k + '0') != string::npos && s.find(l + '0') != string::npos)
        cout << a << "*" << b << "=" << c << endl;
}
void solve2(int i, int j, int k, int l) {
    int a = 10 * i + j;
    int b = 10 * k + l;
    if (a >= b)
        return;  //两位数相乘的情况会出现满足乘法交换律的两组算式，排除其中一组
    int c = a * b;
    string s = i2s(c);
    if (s.find(i + '0') != string::npos && s.find(j + '0') != string::npos &&
        s.find(k + '0') != string::npos && s.find(l + '0') != string::npos)
        cout << a << "*" << b << "=" << c << endl;
}

int main() {
    for (int i = 1; i <= 9; i++)
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                for (int l = 0; l <= 9; l++)
                    if (i != j && i != k && i != l && j != k && j != l &&
                        k != l) {
                        solve1(i, j, k, l);
                        solve2(i, j, k, l);
                    }

    return 0;
}
// 输出 12 组算式

代码看起来很长，其实solve1和solve2几乎都是重复的，作为填空题无脑解法，写起来还是很快的。。

一开始两位数相乘那边忘了考虑乘法交换律，算出来有18组，把算式打印出来看了一下发现有重复的，于是又加了**乘数 a<b **的条件。

string里找子串可以用 str.find("xxx")!=string::npos; 还真忘了。。还查了下C++ reference来着orz。还看到有先把两个字符串排序再比较的，

还有就是'0'-'9'以内的字符和0-9以内的数字转换可以用 char = int +'0'; int = char -'0'的方法~强转还是不太安全的，至少在 devc++ 里会打印出奇怪的东西。。

第四题、史丰收速算

史丰收速算法的革命性贡献是：从高位算起，预测进位。不需要九九表，彻底颠覆了传统手算!

速算的核心基础是：1位数乘以多位数的乘法。

其中，乘以7是最复杂的，就以它为例。

因为，1/7 是个循环小数：0.142857…，如果多位数超过 142857…，就要进1

同理，2/7, 3/7, … 6/7 也都是类似的循环小数，多位数超过 n/7，就要进n

下面的程序模拟了史丰收速算法中乘以7的运算过程。

乘以 7 的个位规律是：偶数乘以2，奇数乘以2再加5，都只取个位。

乘以 7 的进位规律是：

满 142857… 进1,

满 285714… 进2,

满 428571… 进3,

满 571428… 进4,

满 714285… 进5,

满 857142… 进6

请分析程序流程，填写划线部分缺少的代码。

//计算个位
int ge_wei(int a)
{
    if(a % 2 == 0)
        return (a * 2) % 10;
    else
        return (a * 2 + 5) % 10;
}

//计算进位
int jin_wei(char* p)
{
    char* level[] = {
        "142857",
        "285714",
        "428571",
        "571428",
        "714285",
        "857142"
    };
    char buf[7];
    buf[6] = '\0';
    strncpy(buf,p,6);
    int i;
    for(i=5; i>=0; i--){
        int r = strcmp(level[i], buf);
        if(r<0) return i+1;
        while(r==0){
            p += 6;
            strncpy(buf,p,6);
            r = strcmp(level[i], buf);
            if(r<0) return i+1;
     	    if(r > 0) return ___________;  //填空
            // if(r > 0) return i;
        }
    }
    return 0;
}
//多位数乘以7
void f(char* s)
{
    int head = jin_wei(s);
    if(head > 0) printf("%d", head);
    char* p = s;
    while(*p){
        int a = (*p-'0');
        int x = (ge_wei(a) + jin_wei(p+1)) % 10;
        printf("%d",x);
        p++;
    }
   printf("\n");
}
int main()
{
    f("428571428571");
    f("34553834937543");
    return 0;
}

第五题、锦标赛

如果要在n个数据中挑选出第一大和第二大的数据（要求输出数据所在位置和值），使用什么方法比较的次数最少？

我们可以从体育锦标赛中受到启发。

如图【1.png】所示，8个选手的锦标赛，先两两捉对比拼，淘汰一半。优胜者再两两比拼…直到决出第一名。

第一名输出后，只要对黄色标示的位置重新比赛即可。 下面的代码实现了这个算法（假设数据中没有相同值）。

代码中需要用一个数组来表示图中的树（注意，这是个满二叉树，不足需要补齐）。它不是存储数据本身，而是存储了数据的下标。

第一个数据输出后，它所在的位置被标识为-1

请仔细分析流程，填写缺失的代码。

通过浏览器提交答案，只填写缺失的代码，不要填写已有代码或其它说明语句等。

//重新决出k号位置，v为已输出值
void pk(int* a, int* b, int n, int k, int v)
{
	int k1 = k*2 + 1;
	int k2 = k1 + 1;
	if(k1>=n || k2>=n){
		b[k] = -1;
		return;	}
	if(b[k1]==v)
		pk(a,b,n,k1,v);
	else
		pk(a,b,n,k2,v);
	//重新比较
	if(b[k1]<0){
		if(b[k2]>=0)
			b[k] = b[k2];
		else
		b[k] = -1;
		return;	}
	if(b[k2]<0){
		if(b[k1]>=0)
			b[k] = b[k1];
		else
		b[k] = -1;
		return;	}
    //if (a[b[k1]] > a[b[k2]])
	if(________) //代码补充
		b[k] = b[k1];
	else
		b[k] = b[k2];}
//对a中数据，输出最大，次大元素位置和值
void f(int* a, int len){
	int n = 1;
	while(n<len) n *= 2;
	int* b = (int*)malloc(sizeof(int*) * (2*n-1));
	int i;
	for(i=0; i<n; i++){
		if(i<len)
			b[n-1+i] = i;
		else
		b[n-1+i] = -1;	}
	//从最后一个向前处理
	for(i=2*n-1-1; i>0; i-=2){
		if(b[i]<0){
			if(b[i-1]>=0)
				b[(i-1)/2] = b[i-1];
			else
				b[(i-1)/2] = -1;
			}
		else{
			if(a[b[i]]>a[b[i-1]])
				b[(i-1)/2] = b[i];
			else
				b[(i-1)/2] = b[i-1];
		}
	}
	//输出树根
	printf("%d : %d\n", b[0], a[b[0]]);

	//值等于根元素的需要重新pk
	pk(a,b,2*n-1,0,b[0]);

	//再次输出树根
	printf("%d : %d\n", b[0], a[b[0]]);
	free(b);} 

int main(){
	int a[] = {54,55,18,16,122,17,30,9,58};
	f(a,9);
}     

第六题、扑克序列

A A 2 2 3 3 4 4， 一共4对扑克牌。请你把它们排成一行。 要求：两个A中间有1张牌，两个2之间有2张牌，两个3之间有3张牌，两个4之间有4张牌。

请填写出所有符合要求的排列中，字典序最小的那个。

例如：22AA3344 比 A2A23344 字典序小。当然，它们都不是满足要求的答案。

请通过浏览器提交答案。“A”一定不要用小写字母a，也不要用“1”代替。字符间一定不要留空格。

// RioTian 21/03/16
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    string s = "223344AA";
    do {
        if (s.rfind('A') - s.find('A') == 2 &&
            s.rfind('2') - s.find('2') == 3 &&
            s.rfind('3') - s.find('3') == 4 && s.rfind('4') - s.find('4') == 5)
            cout << s << "\n";
    } while (next_permutation(s.begin(), s.end()));
    return 0;
}
// 2342A3A4
// 4A3A2432

七、蚂蚁感冒

长100厘米的细长直杆子上有n只蚂蚁。它们的头有的朝左，有的朝右。

每只蚂蚁都只能沿着杆子向前爬，速度是1厘米/秒。

当两只蚂蚁碰面时，它们会同时掉头往相反的方向爬行。

这些蚂蚁中，有1只蚂蚁感冒了。并且在和其它蚂蚁碰面时，会把感冒传染给碰到的蚂蚁。

请你计算，当所有蚂蚁都爬离杆子时，有多少只蚂蚁患上了感冒。

　　

输入格式

第一行输入一个整数n (1 < n < 50), 表示蚂蚁的总数。

接着的一行是n个用空格分开的整数 Xi (-100 < Xi < 100), Xi的绝对值，表示蚂蚁离开杆子左边端点的距离。正值表示头朝右，负值表示头朝左，数据中不会出现0值，也不会出现两只蚂蚁占用同一位置。其中，第一个数据代表的蚂蚁感冒了。

输出格式

要求输出1个整数，表示最后感冒蚂蚁的数目。

样例输入

3
5 -2 8

样例输出

1

样例输入

5
-10 8 -20 12 25

样例输出

3

这道题模拟会很麻烦的，不过如果有做过了挑战程序竞赛的话，上面有类似的题。

思路：两只蚂蚁相遇不需要掉头，而是交错走过去，然后在判断后续的即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int a[60];
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    int x = a[1];  // 第一只蚂蚁感冒

    if (x > 0) {  // 感冒蚂蚁向右边走
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            if (a[i] < 0 && -a[i] > x) ans++;
        if (ans != 1) {  // 代表有蚂蚁遇到生病蚂蚁了
            for (int i = 1; i <= n; ++i)
                if (a[i] > 0 && a[i] < x) ++ans;
        }
        cout << ans << " ";
    }

    if (x < 0) {  //感冒蚂蚁向左走
        int ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (a[i] > 0 && a[i] < -x) ans++;

        if (ans != 1) {  //有蚂蚁穿过第一只感冒蚂蚁
            for (int i = 0; i < n; i++)
                if (a[i] < 0 && -a[i] > -x) ans++;
            cout << ans << " ";
        }
    }

    return 0;
}

八、地宫取宝

X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

【数据格式】

输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

例如，输入：

2 2 2
1 2
2 1

程序应该输出：

2

再例如，输入：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

程序应该输出：

14

第九题、斐波那契

斐波那契数列大家都非常熟悉。它的定义是：f(x) = 1 … (x=1,2)

f(x) = f(x-1) + f(x-2) … (x>2)

对于给定的整数 n 和 m，我们希望求出：

　　f(1) + f(2) + … + f(n) 的值。但这个值可能非常大，所以我们把它对 f(m) 取模。

公式如下

但这个数字依然很大，所以需要再对 p 求模。

输入格式

　　输入为一行用空格分开的整数 n m p (0 < n, m, p < \(10^{18}\))

输出格式

　　输出为1个整数，表示答案样例输入

2 3 5

样例输出

0

样例输入

15 11 29

样例输出

25

思路就是：\(S(n)=f(n+2)-1\)，\(原式 =(f(n+2)-1)%f(m)%p\) 再利用矩阵快速幂求 \(f()\)

第十题、波动数列

观察这个数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

【数据格式】

输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

例如，输入：

4 10 2 3

程序应该输出：

2

【样例说明】

这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

【数据规模与约定】

对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；

对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；

对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；

对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；

对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。