数据结构——图——最短路径D&F算法

一、Dijkstra算法(贪心地求最短距离的算法)

　　在此算法中，我按照自己的理解去命名，理解起来会轻松一些。

　　

#define MAXSIZE 100
#define UNVISITED 0
#define VISITED 1
#define INFINITY 66666

typedef struct tool {
    int visited[MAXSIZE];
    /*是否已访问的数组,visited[i]表示顶点i已经访问，也就是到顶点i的最短距离已求出*/
    int known_shortest_distance[MAXSIZE];
    /*已知的最短距离数组。known_shortest_distance[i]代表从V0到Vi的最短距离*/
    int previous_vertex[MAXSIZE];
    /*previous_vertex[i]=j,代表：在从V0到Vi的最短路径上，顶点i的前一个顶点是顶点j*/
} Tool;

typedef struct gragh {
    int num_of_vertexes;
    int adjacent_matrix[MAXSIZE][MAXSIZE];
} Gragh;

void init_tool(Gragh g, Tool &t) {
    ;
    ; i < g.num_of_vertexes; i++) {
        t.visited[i] = UNVISITED;
        t.known_shortest_distance[i] = g.adjacent_matrix[][i];
        t.previous_vertex[i] = ;
    }
}

void dijstra_shortest_distance(Gragh g, Tool &t) {
    int i, j, x; //循环变量
    int min_distance, x_index;
    /*min_distance存储的是当前已知的最短距离数组中从V0到Vx最小的距离;
    x_index存储的Vx的下标*/
    init_tool(g, t);
    ; i < g.num_of_vertexes; i++) {
        min_distance = INFINITY;
        ; x < g.num_of_vertexes; x++) {
            if(!t.visited[x] && t.known_shortest_distance[x] < min_distance) {
                min_distance = t.known_shortest_distance[x];
                x_index = x;
            }
        }
        /*通过上面一个循环，最短距离数组中的最小值就是min_distance;
        该顶点的下标就是x_index;
        在当前没有访问且以V0为起点距离最短的顶点中，
        这个点的下标就是x_index.*/
        t.visited[x_index] = VISITED;

        ; j < g.num_of_vertexes; j++) {
            if(!t.visited[j] && (min_distance + g.adjacent_matrix[x_index][j] < t.known_shortest_distance[j])) {
                t.known_shortest_distance[j] = min_distance + g.adjacent_matrix[x_index][j];
                t.previous_vertex[j] = x_index;
            }
        }
    }

}

如果要求任意两点之间的最短距离：只需在外层加一层循环，把最短距离数组和previous_vertex数组变成二维数组即可。

输出从V0到Vi的最短距离和完整路径：

#include<stack>
void print_path(Tool &t, int dest) {
    int i = dest;
    stack<int> s;
    cout << "从V0到V" << i << "的最短距离:" << t.known_shortest_distance[i] << endl;
    ) {
        s.push(t.previous_vertex[i]);
        i = t.previous_vertex[i];
    }
    cout << "从V0到V" << i << "的路径:";
    cout<<"V0";
    while(!s.empty()) {
        cout << "->V" << s.top();
        s.pop();
    }
    cout << "->V" << dest;
}

一、Floyd算法(不管三七二十一，先把整个图中任意两点的最短距离求出再说)

　　核心思想：对图中任意两个顶点(即下面代码中的j和k),如果能在其他顶点中(也就是下面代码中的i，在原始版本中，i和j,k可以相同)找到一个顶点i，使得顶点j到顶点i的距离加上顶点i的距离到顶点k的距离比直接从顶点j到顶点k的距离短，那么，就修改顶点j到顶点k的距离。

typedef struct floyd_tool {
    int known_shortest_distance[MAXSIZE][MAXSIZE];
    /*已知的最短距离数组。known_shortest_distance[i][j]代表从Vi到Vj的最短距离*/
    int path_matrix[MAXSIZE][MAXSIZE];
    /*path_matrix[i][j]=k,代表：在从Vi到Vj的最短路径上，要经过顶点k;
    用k代替i,直到path_matrix[k][j]=j*/
} FloydTool;

void init_floyd_tool(FloydTool &ft, Gragh g) {
    ; i < g.num_of_vertexes; i++) {
        ; j < g.num_of_vertexes; j++) {
            ft.known_shortest_distance[i][j] = g.adjacent_matrix[i][j];
            ft.path_matrix[i][j] = j;
        }
    }
}

void floyd_shortest_distance(Gragh g,FloydTool &ft) {
    init_floyd_tool(ft,g);
    ;i < g.num_of_vertexes; i++){
        ;j < g.num_of_vertexes;j++){
            ;k < g.num_of_vertexes;k++){
                if(ft.known_shortest_distance[j][k] >
                   ft.known_shortest_distance[j][i] + ft.known_shortest_distance[i][k]){
                    ft.known_shortest_distance[j][k] =
                    ft.known_shortest_distance[j][i] + ft.known_shortest_distance[i][k];
                    ft.path_matrix[j][k] = ft.path_matrix[j][i];
                   }
            }
        }
    }
}

改进版：

改进依据：由上面初始版本的思想可知，对于任意两个顶点j和顶点k，如果顶点j和顶点i是同一个，那么，最里面一层的比较相当于是D和0+D在比，显然，这是没必要的。或者，如果j和i不相等，但是i不是j的邻接点，那么j到i的距离就是“无穷大”，很显然，通过这个桥梁i是不可能缩短j到k的距离的。所以，有了第一个if；同理，第二个if也是这么来的。然后，初始版本中，最里面两层循环的循环变量都是从0开始的，但是因为我们考虑的是无向图，j到k的距离和k到j的距离是一样的，所以，我在改进版本中减去了重复求k到j的距离。

void floyd_shortest_distance(Gragh g,FloydTool &ft) {
    init_floyd_tool(ft,g);
    ;i < g.num_of_vertexes; i++){
        ;j < g.num_of_vertexes;j++){
            if(j == i || ft.known_shortest_distance[j][i] == INFINITY)continue;
            for(int k = j + 1;k < g.num_of_vertexes;k++){
                if(k == i || ft.known_shortest_distance[k][i] == INFINITY)continue;
                if(ft.known_shortest_distance[j][k] >
                   ft.known_shortest_distance[j][i] + ft.known_shortest_distance[i][k]){
                    ft.known_shortest_distance[j][k] =
                    ft.known_shortest_distance[j][i] + ft.known_shortest_distance[i][k];
                    ft.path_matrix[j][k] = ft.path_matrix[j][i];
                   }
            }
        }
    }
}

输出最短距离和完整路径：

void print_path(FloydTool &ft,int orig,int dest) {
    cout << "从V"<<orig<<"到V"<<dest<< "的最短距离:" << ft.known_shortest_distance[orig][dest] << endl;
    cout << "从V"<<orig<<"到V"<<dest<<"的路径:";
    cout<<"V"<<orig;
    while(ft.path_matrix[orig][dest] != dest){
        cout<<"->V"<<ft.path_matrix[orig][dest];
        orig = ft.path_matrix[orig][dest];
    }
    cout << "->V" << dest;
}