[实变函数]4.1 可测函数 (measurable function) 及其性质

1 记号 (notations)

(1) 广义实数: $\overline{\bbR}=\bbR\cup\sed{-\infty}\cup\sed{+\infty}$.

(2) 本章主要考虑     $$\bex     f:E\to \overline{\bbR},     \eex$$

其中 $E$ 是可测集, 而把     $$\bex     f:E\to \bbR     \eex$$

称为有限函数.

注意: 有限函数、有界函数的区别.

(3)     $$\bex     E[f>c]=\sed{x\in E;f(x)>a}\quad\sex{x\mbox{ 是哑巴}}.     \eex$$

2 可测函数的定义: $$\bex f:E\to \overline{\bbR}\mbox{ 可测}\lra \forall\ c\in\bbR, E[f>c]\mbox{ 可测}. \eex$$

(1) 例 1: $\dps{D(x)}$ 可测:     $$\bex     \overline{\bbR}[D>c]=\sedd{\ba{ll}     \vno,&c\geq 1,\\     \bbQ,&0\leq c<1,\\     \bbR,&c<0.     \ea}.     \eex$$

(2) 例 2: $E=(a,b)$ 上的连续函数、单调函数可测:     $$\bex     f\mbox{ 连续}\ra E[f>c] \mbox{ 是开集};     \eex$$     $$\bex     f\mbox{ 单增}\ra E[f>c] \mbox{ 是区间}.     \eex$$

注: 区间 $I$ 的意思是: $a,b\in I, a<b\ra [a,b]\in I$.

3 可测函数的等价定义: $$\bex f\mbox{ 可测}\lra \sedd{\ba{ll} (1)&\forall\ c, E[f\geq c]\mbox{ 可测},\\ (2)&\forall\ c, E[f<c] \mbox{ 可测},\\ (3)&\forall\ c, E[f\leq c\mbox{ 可测},\\ (4)&\forall\ -\infty<a<b<+\infty, E[a\leq f<b]\mbox{ 可测},\\ &(\ra\mbox{ 需要 }f \mbox{ 是有限函数}). \ea} \eex$$

证明: $$\bex E[f\geq c]=\cap_{i=1}^\infty E\sez{f\geq c-\frac{1}{i}}, \eex$$ $$\bex E[f>c]=\cup_{i=1}^\infty E\sez{f\geq c+\frac{1}{i}}, \eex$$ $$\bex E[a\leq f<b]=E[f\geq a]-E[f\geq b], \eex$$ $$\bex f\mbox{ 有限}\ra E[f\geq a]=\cup_{i=1}^\infty E[a\leq f<a+i]. \eex$$

(1) 推论: $E[f=c]$ 可测.

证明:     $$\bex     c\in\bbR\ra E[f=c]=E[f\geq c]-E[f>c],     \eex$$     $$\bex     c=+\infty\ra E[f=c]=\cap_{i=1}^\infty E[f>i],     \eex$$     $$\bex     c=-\infty\ra E[f=c]=\cap_{i=1}^\infty E[f<-i].     \eex$$

4 重要的可测函数类 I---连续函数类

(1) $f: E\to \overline{\bbR}$ 在点 $x_0\in E$ 处连续, 如果 $f(x_0)\in\bbR$, 且     $$\bex     \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st x\in E\cap B(x_0,\delta)\ra |f(x)-f(x_0)|<\ve.     \eex$$

注: $f$ 在 $E$ 的孤立点上连续.

(2) 设 $f:E\to\overline{\bbR}$ 连续, 则 $f$ 可测.

证明:     由     $$\bex     x\in E[f>c]&\ra f(x)>c     \ra \exists\ \delta_x>0,\st E\cap B(x,\delta_x)\subset E[f>c]     \eex$$

知     $$\bex     E[f>c]=\cup_{x\in E[f>c]}\sez{E\cap B(x,\delta_x)}     =\sez{\cup_{x\in E[f>c]}B(x,\delta_x)}\cap E.     \eex$$

5 重要的可测函数类 II---简单函数类

(1) 设 $f$ 在 $E$ 上可测, $\tilde E(\subset E)$ 可测, 则 $f$ 在 $\tilde E$ 上的限制 $f:\tilde E\to\overline{\bbR}$ 也

可测:     $$\bex     \tilde E[f>c]=\tilde E\cap E[f>c].     \eex$$

(2) $f$ 在 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 上可测 $\ra f$ 在 $\dps{E=\cup_{i=1}^j}$ 上可测:     $$\bex     E[f>c]=\cup_{i=1}^j E_i[f>c].     \eex$$

(3) 简单函数: 设 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 两两不交, 可测,     $$\bex     f:E=\cup_{i=1}^j E_i\to \overline{\bbR}     \eex$$

使得 $f(x)=c_i, x\in E_i$, 则称 $f$ 为简单函数, 记作     $$\bex     f(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad x\in E.     \eex$$

(4) 例: $D(x)$ 是 $\bbR$ 上的简单函数.

(5) 简单函数可测.

6 可测函数的四则运算

(1) $f,g$ 可测 $\dps{\ra -f,f\pm g, |f|,\frac{1}{f}, f^2,f\cdot g}$ 可测.

证明:     $$\beex     \bea     E[-f>c]&=E[f<-c];\\     E[f+g>c]&=E[f>c-g]\\     &=\cup_{r\in\bbQ}\sex{E[f>r]\cap E[r>c-g]}\\     &=\cup_{r\in\bbQ}\sex{E[f>r]\cap E[g>c-r]};\\     f-g&=f+(-g);\\     E\sez{\frac{1}{f}>c}     &=\sedd{\ba{ll}     E[f>0]\cap E\sez{f<\frac{1}{c}},&c>0\\     E[f>0]\bs E[f=+\infty],&c=0\\        E[f>0]\cup E\sez{f<\frac{1}{c}},&c<0     \ea};\\     E[f^2>c]&=\sedd{\ba{ll}     E[f>\sqrt{c}]\cup E[f<-\sqrt{c}],&c\geq 0\\     E,&c<0     \ea};\\     f\cdot g&=\frac{1}{4}[(f+g)^2-(f-g)^2].     \eea     \eeex$$

(2) 推论:     $$\bex     f\mbox{ 可测}\lra \mbox{正部 }f^+=\max\sed{f,0},\mbox{ 负部 }f^-=-\min\sed{f,0}, \mbox{  可测}.     \eex$$

证明: $\ra$         $$\bex         f^+=\frac{|f|+f}{2},\quad f^-=\frac{|f|-f}{2}.         \eex$$

$\la$ $f=f^+-f^-$.

7 可测函数的极限运算:

(1)     $$\bex     f_i\mbox{ 可测}\ra m(x)=\inf_{i\geq 1}f_i(x),\ M(x)=\sup_{i\geq 1}f_i(x)\mbox{ 可测}:     \eex$$     $$\beex     \bea     E[m\geq c]&=\cap_{i=1}^\infty E[f_i\geq c];\\     E[M\leq c]&=\cap_{i=1}^\infty E[f_i\leq c].     \eea     \eeex$$

(2)     $$\bex     f_i\mbox{ 可测}\ra \varliminf_{i\to\infty}f_i,\ \varlimsup_{i\to\infty}f_i\mbox{ 可测}:     \eex$$     $$\bex     \varliminf_{i\to\infty}f_i     =\sup_{i\geq 1}\inf_{j\geq i}f_j,\quad     \varlimsup_{i\to\infty}f_i     =\inf_{i\geq 1}\sup_{j\geq i}f_j.     \eex$$

8 可测函数与简单函数的关系:

(1)     $$\bex     f\mbox{ 非负可测}\ra \exists\mbox{ 简单函数列 }\sed{\phi_k},\st \phi_k\nearrow f.     \eex$$

证明: 取     $$\beex     \bea     E_{k,j}&=E\sez{\frac{j-1}{2^k}\leq f<\frac{j}{2^k}},\quad j=1,2,\cdots,k2^k;\\     E_k&=E[f\geq k],\quad k=1,2,\cdots.     \eea     \eeex$$

后, 作     $$\bex     \phi_k(x)=\sedd{\ba{ll}     \frac{j-1}{2^k},&x\in E_{k,j},\\     k,&x\in E_k.     \ea}.     \eex$$

则 $\phi_k$ 为简单函数, 且     $$\bex     \phi_k\leq \phi_{k+1}\leq f:     \eex$$     $$\beex     \bea     x\in E_{k,j}&\ra \frac{j-1}{2^k}\leq f(x)<\frac{j}{2^k}\\     &\ra \frac{2j-2}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j}{2^{k+1}}\\     &\ra \frac{2j-2}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j-1}{2^{k+1}}\mbox{ 或 }     \frac{2j-1}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j}{2^{k+1}}\\     &\ra \phi_{k+1}(x)=\frac{2j-2}{2^{k+1}}\mbox{ 或 }\frac{2j-1}{2^{k+1}}\geq \frac{j-1}{2^k}=\phi_k(x),\\     x\in E_k&\ra f(x)\geq k\\     &\ra f(x)\geq k+1\mbox{ 或 }\frac{j-1}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{j}{2^{k+1}}\\     &\quad\sex{j=(k+1)2^{k+1},\cdots,k2^{k+1}+1}\\     &\ra \phi_{k+1}(x)=k+1\mbox{ 或 }     \frac{j-1}{2^{k+1}}\geq k=\phi_k(x).     \eea     \eeex$$

往证 $\phi_k\to f$:

若 $f(x)=+\infty$, 则 $\phi_k(x)=k$;

若 $f(x)<+\infty$, 则当 $k>f(x)$ 时,     $$\bex     0\leq f(x)-\phi_k(x)<\frac{1}{2^k}.     \eex$$

(2)     $$\bex     f\mbox{ 可测}\ra \exists\ \mbox{ 简单函数列 }\phi_k,\st \phi_k\to f.     \eex$$

证明:     $$\bex     \ba{ccccc}     f&=&f^+&-&f^-\\     \uparrow&&\uparrow&&\uparrow\\     \phi_k&=&\phi_{1k}&-&\phi_{2k}     \ea.     \eex$$

(3)     $$\bex     f\mbox{ 有界可测}\ra \exists\mbox{ 简单函数列 }\sed{\phi_k},\st \phi_k\rightrightarrows f.     \eex$$

证明: 设 $|f|\leq M$, 则当 $k>M$ 时,     $$\bex     |f^+-\phi_{1k}|<\frac{1}{2^k},\quad     |f^--\phi_{2k}|<\frac{1}{2^k},     \eex$$

而     $$\bex     |f-\phi_k|<\frac{1}{2^{k-1}}.     \eex$$

(4) 总结:     $$\bex     \mbox{ 非负可测}\ra\mbox{单调逼近};\quad\mbox{可测}\ra \mbox{点点逼近};\quad     \mbox{有界可测}\ra \mbox{一致逼近}.     \eex$$

9 一个定义: 设 $E$ 是集合, $\pi$ 是命题, 若 $$\bex \exists\ Z\subset E,\ mZ=0,\st \pi\mbox{ 在 }E\bs Z\mbox{ 上成立}, \eex$$

则称 $\pi$ 在 $E$ 上几乎处处成立, 记作 $\pi\ \ae$ 于 $E$ (almost everywhere).

(1) 例 1: $|\tan x|<\infty$ $\ae$ 于 $\bbR$.

(2) 例 2: $D(x)=0$, $\ae$ 于 $\bbR$.

(3)     $$\bex     \left.\ba{ll}     \pi_1,\ae\mbox{ 于 }E\\     \pi_2,\ae\mbox{ 于 }E     \ea\right\}\ra \pi_1\cap \pi_2,\ae\mbox{ 于 }E.     \eex$$

(4) 例: 若 $f=g$, $\ae$ 于 $E$;  $g=h$, $\ae$ 于 $E$, 则 $f=h$, $\ae$ 于 $E$.

10 作业: Page 94, T 2.